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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE

´
CALCULO I
PROBLEMAS RESUELTOS

Rodrigo Vargas

Santiago de Chile
2007

ii

Prefacio
Este libro con problemas resueltos pretende sirvir como texto para estudiantes en un primer curso de C´lculo. As´ espero facilitar el estudio y
a
ı
la comprensi´n de los estudiantes. Grupos especiales, estudiantes avanzao
dos, lectores que deseen unapresentaci´n m´s completa y los alumnos, por
o
a
as´ decirlo, normales que busquen lecturas complementarias pueden consultar
ı
el libro “An´lisis Real” volumen 1 de Elon Lages Lima que trata los mismos
a
t´picos con un enfoque m´s amplio.
o
a
La parte mas importante de este libro son sus problemas resueltos, que
sirven para fijar ideas, desarrollar algunos temas esbozados en muchostextos
de c´lculo y como oportunidad para que el lector compruebe lo sencillo de
a
algunas soluciones. Naturalmente, me gustar´ que el lector s´lo consultase
ıa
o
las soluciones despu´s de haber hecho un serio esfuerzo para resolver cada
e
problema. Precisamente es este esfuerzo, con o sin ´xito, el que nos conduce
e
a buenos resultados en el proceso de aprendizaje.
Los problemas que ellector encontrar´ se basan en las ayudant´ del cura
ıas
so de c´lculo en la Pontificia Universidad Cat´lica de Chile, el cual est´ dia
o
a
rigido a estudiantes de Bachillerato.

iii

iv

´
Indice general
1. N´meros Reales
u

1

2. Sucesiones de N´meros Reales
u

37

3. L´
ımites de Funciones

65

4. Funciones Continuas

75

5. Derivadas

83

6. F´rmula de Taylor yAplicaciones de la Derivada
o

v

103

vi

Cap´
ıtulo 1
N´meros Reales
u
1.1. Pruebe que para cada a, b ∈ R se tiene que −(a + b) = (−a) + (−b).
Soluci´n: Si a, b ∈ R entonces a + b ∈ R y existe un elemento −(a + b)
o
tal que
(a + b) + (−(a + b)) = 0 .
Por otro lado, usando la asociatividad y conmutatividad de la suma,
obtenemos
(a + b) + (−a) + (−b) = (a + (−a)) + (b + (−b))= 0
entonces (−a) + (−b) es inverso aditivo de (a + b), de la unicidad del
inverso aditivo, se concluye que
−(a + b) = (−a) + (−b) .
1.2. Pruebe que para cada x ∈ R, −(−x) = x.
Soluci´n: Si x ∈ R existe −x ∈ R tal que
o
x + (−x) = 0
y adem´s para −x existe elemento inverso −(−x) ∈ R tal que
a
(−x) + (−(−x)) = 0
de la unicidad del inverso aditivo concluimos que
−(−x) = x .
1

2§1. N´ meros Reales
u

1.3. Sea x ∈ R, pruebe que x · 0 = 0 · x = 0.
Soluci´n: Notemos que
o
x · 0 + x = x · 0 + x · 1 = x(0 + 1) = x · 1 = x
sumando −x a ambos lados de la igualdad x · 0 + x = x, obtenemos
x · 0 = 0.
1.4. Pruebe que si ab = 0 entonces a = 0 o b = 0.
Soluci´n: Si b = 0 entonces podemos multiplicar por b−1 y obtenemos
o
a · b · b−1 = 0 · b−1 ⇒ a · 1 = 0 ⇒ a = 0 .
1.5.Si x, y ∈ R, pruebe que
x · (−y) = (−x) · y = −(x · y) .
Soluci´n: Notemos que
o
x · (−y) + x · y = x · (−y + y) = x · 0 = 0
sumando −(x · y) a ambos miembros de la igualdad x · (−y) + x · y = 0
se obtine
x · (−y) = −(x · y) .
Analogamente, para (−x) · y = −(x · y).
1.6. Pruebe que para cada a, b ∈ R, (−a)(−b) = ab.
Soluci´n: Si a, b ∈ R entonces ab ∈ R y existe elemento inverso
o
−ab ∈R tal que
ab + (−ab) = 0 .
Entonces
(−a)(−b) =
=
=
=
=

(−a)(−b) + ab + (−ab)
(−a)(−b) + (−a)b + ab
(−a)((−b) + b) + ab
(−a) · 0 + ab
ab .

3

C´lculo I - Rodrigo Vargas
a
1.7. Pruebe que si 0 < x < y entonces y −1 < x−1 .

Soluci´n: Observemos primero que x > 0 ⇒ x−1 = x(x−1 )2 > 0.
o
A continuaci´n multiplicamos ambos miembros de la desigualdad x < y
o
−1 −1
por x yse tiene que y −1 < x−1 .
1.8. Pruebe que ||x| − |y|| ≤ |x − y| para cualquier x, y ∈ R.
Soluci´n: Usando la desigualdad tri´ngular obtenemos
o
a
|x| = |x − y + y| ≤ |x − y| + |y| ⇒ |x| − |y| ≤ |x − y| .
De manera similar, |y| − |x| ≤ |x − y| ⇒ −|x − y| ≤ |x| − |y|. Por
transitividad obtenemos que:
−|x − y| ≤ |x| − |y| ≤ |x − y|
o equivalentemente
||x| − |y|| ≤ |x − y| .
1.9. Dados x,...