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Algebra. 2004–2005. Ingenieros Industriales.
Departamento de Matem´tica Aplicada II. Universidad de Sevilla.
a

Tema 2.- Formas Cuadr´ticas.
a
Definici´n y representaci´n matricial.
o
o
Clasificaci´n de las formas cuadr´ticas.
o
a
Reducci´n a suma de cuadrados: m´todo de Lagrange.
o
e
En el Tema 1, al estudiar las c´nicas y las cu´dricas, hemos descrito y considerado ejemplosreferentes a
o
a
c´mo completar cuadrados en un polinomio de segundo grado sin t´rminos cruzados. Veremos en esta lecci´n
o
e
o
que este mismo procedimiento (completar cuadrados) puede usarse en un polinomio homog´neo de segundo
e
grado en varias variables, que se denomina una forma cuadr´tica. Las formas cuadr´ticas surgen en estad´
a
a
ıstica,
mec´nica y en otros problemas de la f´
aısica. Aparecen, adem´s, al estudiar los m´ximos y los m´
a
a
ınimos de las
funciones de varias variables, como se ver´ en la asignatura de C´lculo.
a
a

1.

Definici´n y representaci´n matricial.
o
o

Un polinomio homog´neo de segundo grado en varias variables, es decir un polinomio de segundo grado
e
en el que todos los t´rminos son de segundo grado, se suele denominar formacuadr´tica. En dos variables
e
a
(x, y) tendremos
f (x, y) = a11 x2 + 2a12 xy + a22 y 2
y en tres variables
g(x, y, z) = a11 x2 + a22 y 2 + a33 z 2 + 2a12 xy + 2a13 xz + 2a23 yz.
En el caso gen´rico de n variables, (x1 , x2 , . . . , xn ), la forma cuadr´tica adopta la expresi´n
e
a
o
Q(x1 , x2 , . . . , xn )

= a11 x2 + a22 x2 + · · · + ann x2
n
1
2

+ 2a12 x1 x2 + 2a13 x1 x3 + · · · +2a1n x1 xn + 2a23 x2 x3 + 2a24 x2 x4 + · · ·
+ 2a2n x2 xn + · · · + 2an−2,n−1 xn−2 xn−1 + 2an−2,n xn−2 xn + 2an−1,n xn−1 xn
n

n

akk x2 +
k

=
k=1

2aij xij .
i, j = 1
i 0, ∀x = 0, x ∈ Rn .
(2) definida negativa si Q(x) = xT Ax < 0, ∀x = 0, x ∈ Rn .
(3) indefinida si existen vectores en Rn para los que Q es positiva y otros para los que es negativa, es decir,
∃v1 ∈ Rn y ∃v2 ∈ Rntales que
T
Q(v1 ) = v1 Av1 > 0

y

T
Q(v2 ) = v2 Av2 < 0.

(4) semidefinida positiva si Q(x) = xT Ax ≥ 0, ∀x ∈ Rn .
(5) semidefinida negativa si Q(x) = xT Ax ≤ 0, ∀x ∈ Rn .
Nota. Con las definiciones dadas los casos de formas cuadr´ticas semidefinidas (positiva o negativa) incluyen a los
a
casos de formas cuadr´ticas definidas (positiva o negativa). Para considerar situaciones disjuntas,en la definici´n de
a
o
forma cuadr´tica semidefinida suele a˜adirse que se cumpla Q(v) = 0 para alg´n vector v = 0. En caso de no existir tal
a
n
u
vector v, siendo semidefinida (positiva o negativa) ser´ definida (positiva o negativa). En lo que sigue consideramos la
a
definici´n dada m´s arriba con objeto de simplificar los enunciados.
o
a

En el caso general de varias variables, elsiguiente resultado nos da la clasificaci´n pero s´lo sirve para formas
o
o
cuadr´ticas sin t´rminos mixtos. Necesitaremos, por tanto, un m´todo sistem´tico que nos permita escribir
a
e
e
a
cualquier forma cuadr´tica como suma de cuadrados. Veremos un m´todo (el de Lagrange) en la siguiente
a
e
secci´n que permite eliminar los t´rminos mixtos y conseguir lo que se llama una forma can´nica dela forma
o
e
o
cuadr´tica.
a
Teorema de clasificaci´n de formas cuadr´ticas.
o
a
Sea Q : Rn −→ R la forma cuadr´tica Q(x) = α1 x2 + α2 x2 + · · · + αn x2 . Se verifica:
a
1
2
n
(1) Q es definida positiva ⇐⇒ todos los coeficientes α1 , · · · , αn son (estrictamente) positivos,
α1 > 0, α2 > 0, · · · , αn > 0.
(2) Q es definida negativa ⇐⇒ todos los coeficientes α1 , · · · , αn son(estrictamente) negativos,
α1 < 0, α2 < 0, · · · , αn < 0.
(3) Q es indefinida ⇐⇒ hay alg´n coeficiente αi > 0 y alg´n coeficiente αj < 0, es decir,
u
u
∃ i, j tales que αi > 0, αj < 0.
(4) Q es semidefinida positiva si no hay ning´n coeficiente negativo,
u
α1 ≥ 0, α2 ≥ 0, · · · , αn ≥ 0.
(5) Q es semidefinida negativa si no hay ning´n coeficiente positivo,
u
α1 ≤ 0, α2 ≤ 0, · · · , αn ≤ 0.

2...