Examen Matematicas Ingenieria

Ampliaci´n de Matem´ticas I - I.T.I. Mec´nica - 12 de Febrero de 2010 o a a
1. a) Sea la funci´n f : R2 → R, definida por: o      1) Estudiar la continuidad de f . 2) Estudiar la existencia de sus derivadas direccionales en (2, 0). 3) Estudiar la diferenciabilidad de f . 4) Determinar la direcci´n de m´ximo crecimiento de f en (1, 1). o a 1) Estudiar la continuidad de f . Por definici´n f (x,y) es continua en R2 − {(2, 0)}. o Estudiemos a trav´s de la definici´n la continuidad de la funci´n en el punto (2, 0). e o o l´ ım
(x,y)→(2,0)

f (x, y) =

y3 (x − 2)2 + y 2 0

si si

(x, y) = (2, 0), (x, y) = (2, 0).

f (x, y) = f (2, 0)

Calculemos el l´ ımite doble de la funci´n en el punto (2,0). Usando el cambio a polares: o   x = 2 + r cos(θ),    y = sen(θ). r3 sen(θ)3 rsen(θ)3 = l´ ım = l´ r sen(θ)3 = 0 ım l´ ım 2 r→0 r→0 r→0 (2 + r cos(θ) − 2)2 + (r sen(θ))2 r
acotado

Como f (2, 0) = 0 la funci´n es continua en dicho punto. Por lo tanto f es continua en o 2 R. 2) Estudiar la existencia de sus derivadas direccionales en (2, 0). Calculemos a trav´s de la definici´n la derivada direccional de la funci´n en el punto e o o → = (u1 , u2 ), un vector unitario, u2 +u2 = 1, − (2, 0). Sea u 1 2 D− f (2, 0) = l´ ım → u h→0 Entonces: f ((2, 0) + h(u1 , u2 )) − f (2, 0) h

h3 u3 2 f (2 + hu1 , hu2 ) h2 u2 + h2 u2 1 2 = l´ ım = l´ ım = u3 2 h→0 h→0 h h

3) Estudiar la diferenciabilidad de f . Por definici´n fx existe y es continua en todo R2 − {(2, 0)}, an´logamente, por definici´n o a o fy existe y es continua en todo R2 − {(2, 0)}, luego f es diferencial enR2 − {(2, 0)}.

Para estudiar la diferenciabilidad de la funci´n en el punto (2, 0) es suficiente con que al o menos una de las derivadas parciales sea continua en el punto (2, 0). Por ello tenemos que hallar las funciones derivadas parciales y el gradiente de dicha funci´n en dicho punto. o fx (x, y) = −2(x − 2)y 3 , si (x, y) = (2, 0) ((x − 2)2 + y 2 )2

f (2 + h, 0) − f (2, 0) =0 h→0 hVeamos si fx es continua en (2,0), tendremos que comprobar que fx (2, 0) = l´ ım l´ ım
(x,y)→(2,0)

fx (x, y) = fx (2, 0) = 0

Calculemos el l´ ımite doble usando el cambio a polares:   x = 2 + r cos(θ),    y = sen(θ). −2r4 sen(θ)3 cos(θ) = −2 sen(θ)3 cos(θ) r→0 r4 l´ ım Por lo tanto no existe el l´ ımite y la fx no es continua en el punto estudiado. fy (x, y) = 3y 2 (x − 2)2 + y 4 , si (x,y) = (2, 0) ((x − 2)2 + y 2 )2

f (2, h) − f (2, 0) =1 h→0 h Veamos si fy es continua en (2,0), tendremos que comprobar que fy (2, 0) = l´ ım l´ ım
(x,y)→(2,0)

fy (x, y) = fy (2, 0) = 1

. Comprobemos si l´ ım
(x,y)→(2,0)

fy (x, y) − 1 = 0

. Calculemos el l´ ımite doble usando el cambio a polares:   x = 2 + r cos(θ),    y = sen(θ). 3r4 sen(θ)2 cos2 (θ) + r4 sen4 (θ) − r4 = 3sen(θ)2 cos2 (θ) + sen4 (θ) − 1 r→0 r4 l´ ım Por lo tanto no existe el l´ ımite y la fy no es continua en el punto estudiado. Y f no es diferenciable en el punto (2,0).

4) Determinar la direcci´n de m´ximo crecimiento de f en (1, 1). o a La direcci´n de m´ximo crecimiento se produce en la direcci´n del vector gradiente. o a o Como ya en el apartado anterior hemos hallado las derivadas parcialesde la funci´n en o cualquier punto solamente tendremos que sustituir el punto (1,1) en dichas derivadas parciales. 1 1 fx (1, 1) = , fy (1, 1) = 1 ⇒ f (1, 1) = ( , 1) 2 2
1

2.

a) Obtener la recta y = ax + b que hace m´ ınima la integral
0 3 3 3 2

(ax + b − x2 )2 dx.

b) La ecuaci´n x + y + z − 3x − 3y + 3z = 0 define impl´ o ıcitamente a una funci´n z = f (x, y). o Calcular sus puntoscr´ ıticos.
1

a) Obtener la recta y = ax + b que hace m´ ınima la integral
0

(ax + b − x2 )2 dx.

Para hallar la recta en primer lugar desarrollaremos el cuadrado (ax + b − x2 )2 = a2 x2 + b2 + x4 + 2abx − 2ax3 − 2bx2
1 1

(ax+b−x ) dx =
0 0

2 2

(a2 x2 +b2 +x4 +2abx−2ax3 −2bx2 )dx =

a2 2 1 a b +b + +ab− −2 = F (a, b) 3 5 2 3

Para hallar los puntos cr´ ıticos tendremos...