Examen matematicas

Matem`tiques 3
a
Curs 2013-2014/Q1
Primer Parcial. 30/10/13. Versi´ 1.
o
1. [2.5 punts] Volem calcular
1
0

1
dx
1 + x2

mitjan¸ant una modificaci´ del m`tode del trapezi. Per fer-ho seguirem els seg¨ents passos:
c
o
e
u
a) [1.5 punts] Calcula la recta tangent a f (x) en el punt (0.5, f (0.5)).
b) [1 punt] Troba els punts de tall de la recta tangent amb les rectes x = 0 i x = 1.Calcula
l’`rea del trapezi determinat per (0, 0), (1, 0) i pels dos punts que acabes de calcular.
a
Calculeu l’error absolut exacte que cometem en l’aproximaci´ (calculant el valor exacte
o
de la integral).

Resultats:
a)

b) punts de tall:

AT mod =

Ea =
Soluci´.
o
a) El punt ´s (0.5, 0.8). La derivada de la funci´ ´s f (x) =
e
oe
La recta tangent ´s y = −0.64x + 1.12
e−2x
(1+x2 )2

i per tant, f (0.5) = −0.64.

b) La recta tangent i la recta x = 0 intersequen en el punt (0, 1.12) La recta tangent i la recta
x = 1 intersequen en el punt (1, 0.48)
El trapezi determinat t´ altura la longitud de l’interval, h=1. Les bases s´n les imatges dels
e
o
punts calculats en l’apartat anterior: 1.12 i 0.48. L’`rea del trapezi ´s AT = 1.12+0.48 · 1 = 0.8.
a
e
2
11
dx = arctg(1) − arctg(0) =
0 1+x2
Ea = arctg(1) − 0.8 = −0.01460184

0.78539816

2. [2 punts] A partir de les dades de la taula seg¨ent:
u
x
y(x)

1
2

2
5

4
4

a) [1 punt] Calculeu el polinomi p(x) que interpola y(x) utilitzant la interpolaci´ de Lagrano
ge.
b) [1 punt] Quin m`tode d’integraci´ num`rica estudiat ens donar` el valor exacte de la
e
o
e
a
4
integral1 p(x) dx? Raona la resposta.
Resultats:
a) p(x) =

b)

Soluci´.
o
a) Els polinomis de Lagrange seran:
L0 (x) =

L1 (x) =
L2 (x) =

(x − x1 )(x − x2 )
(x − 2)(x − 4)
x2 − 6x + 8
=
=
(x0 − x1 )(x0 − x2 )
(0 − 2)(0 − 4)
3
(x − x0 )(x − x2 )
(x − 1)(x − 4)
−x2 + 5x − 4
=
=
(x1 − x0 )(x1 − x2 )
(2 − 1)(2 − 4)
2
(x − 1)(x − 2)
x2 − 3x + 2
(x − x0 )(x − x1 )
=
=
(x2 −x0 )(x2 − x1 )
(4 − 1)(4 − 2)
6

I el polinomi interpolador:
p(x) = y(x0 ) · L0 (x) + y(x1 ) · L1 (x) + y(x2 ) · L2 (x) =

−7 2 13
10
x + x−
6
2
3

b) El valor exacte d’aquesta integral coincideix amb el valor obtingut mitjan¸ant el m`tode de
c
e
Simpson ja que aquest m`tode integra de manera exacta els polinimis de grau 2.
e
3. [2 punts] A partir de les dades de la taulaseg¨ent:
u
x
f (x)

1
0.5

2
0.6

4
0.9

6
1.1

8
1.2

a) [1.5 punts] Considereu una aproximaci´ amb el criteri de m´
o
ınims quadrats amb interpolant
p(x) = A + B · sin(2x). Dedu¨ el sistema lineal d’equacions que permet calcular els
ıu
coeficients A i B.
b) [0.5 punts] Calculeu el sistema lineal d’equacions per les dades donades en l’exercici.
Resultats:

a)

b) p(x) =Soluci´.
o
a) Tenint en compte que en aquest cas
n

(f (xi ) − A − Bsin(2xi ))2

E(A, B) =
i=0

els valors d’A i B que fan que p(x) sigui l’interpolant de f(x) segons el criteri de m´
ınims quadrats
es determinen mitjan¸ant la minimitzaci´
c
o
minA,B E(A, B)
Per tant, els par`metres A i B els determinem imposant:
a

n

∂E
= −2
(f (xi ) − A − Bsin(2xi )) = 0
∂A
i=0
n∂E
= −2
(f (xi ) − A − Bsin(2xi )) · sin(2xi ) = 0
∂B
i=0
I el sistema en forma matricial queda:
 

n
f (xi )
 

=
 n i=0
 

(f (xi )sin(2xi ))

n

n+1

sin(2xi ) 
 A
 B
(sin(2xi ))2

i=0
n

n

sin(2xi )

i=0

i=0



i=0

b)
4.3
5
=
−0.0448
0.3174

0.3174
2.7492

A
B

4. [3.5 punts] Considera la funci´ g(x) = cos2 (x) i la rectay = x. Sabem que es tallen en
o
un unic punt que anomenarem α i que volem determinar num`ricament.
´
e
a) [1 punt] Reescriu la situaci´ anterior de manera que sigui equivalent a resoldre un proo
blema de zeros de funcions amb f (α) = 0.
b) [1 punt] Considera les aproximacions incials x0 = 0 i x1 = 1 i determina la seg¨ent
u
iteraci´ x2 , mitjan¸ant el m`tode de la secant
o
c
e...