Expansiones De Laurent

VARIABLE COMPLEJA

Expansiones de Laurent
Miguelote
Universidad Aut´noma de Yucat´n o a

Miguelote

Expansiones de Laurent

´ INTRODUCCION.
Definici´n. Anillos. o Sean r, s ∈ R ∪ {∞} con 0 ≤ r < s. El subconjunto abierto de C, Ar,s (c) := {z ∈ C : r < |z − c| < s} es llamado anillo o anillo circular alredor de c con radio interior r y radio exterior s. Cuando s < ∞, A0,s (c) = Bs (c) \c es un disco agujerado y A0,∞ (0) es el plano agujerado C× . Cuando no hay posibilidad de confusi´n, abreviamos Ar,s (c) como o A simplemente. El anillo A con radios s y r es la intersecci´n o A = A+ ∩ A− donde A+ := Bs (c) y A− := {z ∈ C : |z − c| > r}.
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´ INTRODUCCION.
Definici´n. Anillos. o Sean r, s ∈ R ∪ {∞} con 0 ≤ r < s. El subconjunto abierto de C,Ar,s (c) := {z ∈ C : r < |z − c| < s} es llamado anillo o anillo circular alredor de c con radio interior r y radio exterior s. Cuando s < ∞, A0,s (c) = Bs (c) \ c es un disco agujerado y A0,∞ (0) es el plano agujerado C× . Cuando no hay posibilidad de confusi´n, abreviamos Ar,s (c) como o A simplemente. El anillo A con radios s y r es la intersecci´n o A = A+ ∩ A− donde A+ := Bs (c) y A− := {z ∈ C: |z − c| > r}.
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´ INTRODUCCION.
Definici´n. Anillos. o Sean r, s ∈ R ∪ {∞} con 0 ≤ r < s. El subconjunto abierto de C, Ar,s (c) := {z ∈ C : r < |z − c| < s} es llamado anillo o anillo circular alredor de c con radio interior r y radio exterior s. Cuando s < ∞, A0,s (c) = Bs (c) \ c es un disco agujerado y A0,∞ (0) es el plano agujerado C× . Cuando no hayposibilidad de confusi´n, abreviamos Ar,s (c) como o A simplemente. El anillo A con radios s y r es la intersecci´n o A = A+ ∩ A− donde A+ := Bs (c) y A− := {z ∈ C : |z − c| > r}.
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´ INTRODUCCION.
Definici´n. Anillos. o Sean r, s ∈ R ∪ {∞} con 0 ≤ r < s. El subconjunto abierto de C, Ar,s (c) := {z ∈ C : r < |z − c| < s} es llamado anillo o anillo circular alredor dec con radio interior r y radio exterior s. Cuando s < ∞, A0,s (c) = Bs (c) \ c es un disco agujerado y A0,∞ (0) es el plano agujerado C× . Cuando no hay posibilidad de confusi´n, abreviamos Ar,s (c) como o A simplemente. El anillo A con radios s y r es la intersecci´n o A = A+ ∩ A− donde A+ := Bs (c) y A− := {z ∈ C : |z − c| > r}.
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´ INTRODUCCION.
Definici´n.Anillos. o Sean r, s ∈ R ∪ {∞} con 0 ≤ r < s. El subconjunto abierto de C, Ar,s (c) := {z ∈ C : r < |z − c| < s} es llamado anillo o anillo circular alredor de c con radio interior r y radio exterior s. Cuando s < ∞, A0,s (c) = Bs (c) \ c es un disco agujerado y A0,∞ (0) es el plano agujerado C× . Cuando no hay posibilidad de confusi´n, abreviamos Ar,s (c) como o A simplemente. El anillo A conradios s y r es la intersecci´n o A = A+ ∩ A− donde A+ := Bs (c) y A− := {z ∈ C : |z − c| > r}.
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´ INTRODUCCION.
Definici´n. Anillos. o Sean r, s ∈ R ∪ {∞} con 0 ≤ r < s. El subconjunto abierto de C, Ar,s (c) := {z ∈ C : r < |z − c| < s} es llamado anillo o anillo circular alredor de c con radio interior r y radio exterior s. Cuando s < ∞, A0,s (c) = Bs (c) \ c esun disco agujerado y A0,∞ (0) es el plano agujerado C× . Cuando no hay posibilidad de confusi´n, abreviamos Ar,s (c) como o A simplemente. El anillo A con radios s y r es la intersecci´n o A = A+ ∩ A− donde A+ := Bs (c) y A− := {z ∈ C : |z − c| > r}.
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Teorema. Integral de Cauchy para anillos. Sea f anal´ ıtica en el anillo A alrededor de c con radios r y s.Entonces f (ζ)dζ =
∂Bρ (c) ∂Bσ (c)

f (ζ)dζ

para todo ρ, σ ∈ R con r < ρ ≤ σ < s. Definici´n. Series de funciones doblemente infinitas. o Dada una sucesi´n (fn )n∈Z de funciones complejas definidas en o
∞ ∞ ∞

X ⊆ C, diremos que
−∞

fn converge si las series
n=1 ∞ ∞

f−n y
n=0

fn

convergen y tal caso
∞

fn =
−∞ n=1

f−n +
n=0

fn .

Miguelote

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