Física

Deducir:
La ecuación de Bernoulli:

Para deducir la ecuación de Bernoulli debemos partir de que el fluido mantiene las condiciones siguientes:
1. El fluido es incompresible.
2. La temperatura del fluido no cambia.
3. El flujo es laminar. No turbulento
4. No existe rotación dentro de la masa del fluido, es un flujo irrotacional.
5. No existen pérdidas por rozamiento en el fluido, es decirno hay viscosidad.
Consideremos ahora el flujo a través de un tubo no uniforme durante un tiempo Δt como se muestra en la figura 1. La fuerza (F) en la parte baja del tubo es P1A1 donde P1 es la presión y A1 es el área de la sección en esa región del tubo. El trabajo realizado por el fluido colocado detrás de un anillo de fluido para desplazarlo la distancia Δx1 en la parte baja del tubo es:
W1= F1 Δx1 = P1A1Δx1 = P1V     (ecuación 1)

Donde V es el volumen de la región verde de la figura 1.

De la misma manera, el trabajo hecho sobre el fluido en la porción alta del tubo en el mismo tiempo Δt es:
 W2 = -P2A2Δx2 = -P2V      (ecuación 2)

Note que como hemos considerado el fluido incompresible el volumen de fluido que circula a través de A1 en el tiempo Δt es igual al que lohace a través de A2 en el mismo tiempo. Observe también que el trabajo W2 es negativo debido a que la fuerza en el fluido en la parte alta del tubo se opone a su desplazamiento.

El trabajo neto hecho por esas fuerzas en el tiempo Δt es:
W = P1V - P2V     (ecuación 3)

Parte del trabajo neto realizado ha cambiado la energía cinética del fluido y parte se ha utilizado para cambiar su energíapotencial gravitacional al ganar en elevación. Si m es la masa que pasa por dentro del tubo en el intervalo de tiempo Δt, entonces el cambio de energía cinética del volumen de fluido es:
 ΔEc = ½mv22 - ½mv12      (ecuación 4)

Y el cambio en la energía potencial es:
ΔEp = mgy2 - mgy1     (ecuación 4)

Si aplicamos ahora el teorema trabajo-energía en la forma W = ΔEc + ΔEp a este volumen defluido y sustituimos los valores correspondientes tenemos que:
 P1V - P2V = ½mv22 - ½mv12     (ecuación 5)

Si dividimos ambos lados de la ecuación 5 por V; tenemos en cuenta que la densidad ρ = m/V y reagrupamos los términos de modo que aquellos referidos al punto 1 estén de un lado de la ecuación y los referidos al punto 2 estén en el otro, obtenemos la ecuación de Bernoulli:
P1 + ½ρv12 + ρgy1 =P2 + ½ρv22 + ρgy2        (ecuación 6)

La que puede expresarse también como:
P1 + ½ρv2 + ρgy = constante       (ecuación 7)

En palabras, la ecuación de Bernoulli dice que:
La suma de la presión (P), la energía cinética por unidad de volumen (½ρv2) y la energía potencial por unidad de volumen (ρgy), tiene el mismo valor a todo lo largo de una corriente fluida.

La ecuación del Teorema deTorricelli

Consideremos un depósito ancho con un tubo de desagote angosto como el de la figura. Si destapamos el caño, el agua circula. ¿Con qué velocidad? ¿Cuál será el caudal? En A y en B la presión es la atmosférica PA=PB=Patm. Como el diámetro del depósito es muy grande respecto del diámetro del caño, la velocidad con que desciende la superficie libre del agua del depósito es muy lentacomparada con la velocidad de salida, por lo tanto podemos considerarla igual a cero, VA = 0
La ecuación de Bernoulli queda entonces:
δ. g. hA + pA= 1/2 . δ . hB + pB
Entonces es:
g . hA = 1/2 . vB² + g. hB de donde VB²= 2. .g . (hA-hB)

De donde se deduce que:
VB² = 2. g.(hA - hB)
Este resultado que se puede deducir de la ecuación de Bernoulli, se conoce como el teorema de Torricelli,quien lo enunció casi un siglo antes de que Bernoulli realizara sus estudios hidrodinámicos. La velocidad con que sale el agua por el desagote es la misma que hubiera adquirido en caída libre desde una altura hA, lo que no debería sorprendernos, ya que ejemplifica la transformación de la energía potencial del líquido en energía cinética.

La ecuación del tubo de Venturi

En el Tubo de...