Faniithaa
Páginas: 5 (1064 palabras)
Publicado: 24 de junio de 2013
TEOREMA DE GAUSS.
→
−
→
−
→
−
→
15. Hallar el flujo del campo − = x2 i + y 2 j + z 2 k a trav´s de la superficie
a
e
x2 + y 2 , 0 ≤ z ≤ 1.
z =1−
a) Directamente.
b) Aplicando el teorema de Gauss.
Soluci´n
o
Llamaremos S a la superficie dada y D a su proyecci´n sobre el plano XY (ver figura).
o
z
S
y
D
x
A partir de la f´rmula expl´
o
ıcita z = 1 − x2 + y 2 ,obtenemos el vector normal exterior a
la superficie:
−x
−y
→
− = − ∂z , − ∂z , 1 =
n
,
,1 .
2 + y2
∂x ∂y
x
x2 + y 2
Como el flujo del campo corresponde a la integral de superficie, por definici´n tenemos que:
o
→
− dS
a
(x2 , y 2 , (1 −
=
→
x2 + y 2 )2 ) · − dxdy
n
D
S
−x3
=
x2
D
+
y2
−
y3
x2
+
y2
+ (1 −
x2 + y 2 )2 dxdy.
Teniendo encuenta que D es el c´
ırculo x2 + y 2 ≤ 1, resolveremos la integral mediante un
cambio a coordenadas polares. As´
ı,
1
→
− dS =
a
S
2π
u·
du
0
0
−u3 cos3 v u3 sen3 v
π
−
+ (1 − u)2 dv = .
u
u
6
Para poder aplicar el teorema de Gauss, la superficie debe ser cerrada. Por lo tanto, consideraremos la superficie formada por la uni´n de S y D y llamamos V al s´lido quelimita
o
o
dicha superficie. De este modo,
→
− dS =
a
S∪D
→
div − dxdydz,
a
V
1
con lo que
→
− dS =
a
→
div − dxdydz −
a
S
V
D
Ahora bien,
√
1−
→
div − dxdydz
a
→
− dS.
a
=
x2 +y 2
(2x + 2y + 2z) dz
dxdy
V
0
D
[(2x + 2y)(1 −
=
x2 + y 2 ) + (1 −
x2 + y 2 )2 ] dxdy.
D
Si hacemos en esta ultima integral un cambioa coordenadas polares, resulta:
´
2π
1
[(2u cos v + 2u sen v)(1 − u) + (1 − u)2 ] dv =
u du
I=
0
0
π
.
6
→
Por ultimo, teniendo en cuenta que el vector − = (0, 0, −1) es normal unitario exterior a
´
n
la superficie D, resulta:
→
− dS =
a
D
(x2 , y 2 , 0) · (0, 0, −1) dxdy = 0.
D
En definitiva,
→
− dS =
a
→
div − dxdydz −
a
S
V
→
− dS = π.
a
6
D
16. Comprobar la f´rmula de Gauss para calcular
o
x3 dydz + y 3 dxdz + z 3 dxdy,
S
donde S es la superficie exterior de una pir´mide formada por los planos x+y+z = a,
a
x = 0, y = 0, z = 0.
Soluci´n
o
La superficie dada est´ compuesta por las cuatro caras del tetraedro de la figura, S =
a
S1 ∪ S2 ∪ S3 ∪ S4 (donde S4 , que es la cara no contenida en ning´n planocoordenado, no
u
se muestra para mayor claridad del dibujo).
z
a
SH2L
SH3L
a
SH1L
a
x
2
y
Si aplicamos el teorema de Gauss, resulta:
→
−
F dS =
(3x2 + 3y 2 + 3z 2 ) dxdydz.
div F dxdydz =
S
V
V
Teniendo en cuenta que la proyecci´n del s´lido V sobre el plano XY es el tri´ngulo limitado
o
o
a
por los ejes coordenados y la recta x + y = 1, entonces la integraltriple se descompone de
la forma siguiente:
(3x2 + 3y 2 + 3z 2 ) dxdydz.
dy
dx
0
0
V
a−x−y
a−x
a
(3x2 + 3y 2 + 3z 2 ) dxdydz =
0
3a5
Al resolver las sucesivas integrales llegamos al resultado I =
. Para resolver la integral
20
directamente, sin aplicar la f´rmula de Gauss, debemos descomponerla en suma de integrales
o
sobre cada una de las caras que limitan lapir´mide. As´ pues:
a
ı
→
- La superficie S se define por la ecuaci´n z = 0 y su vector normal exterior es − =
o
n
1
1
(0, 0, −1). Por tanto,
→
−
F dS =
(x3 , y 3 , 0) · (0, 0, −1) dS = 0.
S1
S1
→
- La superficie S2 viene dada por la ecuaci´n x = 0 y el vector normal exterior es −2 =
o
n
(−1, 0, 0); entonces
→
−
F dS =
(0, y 3 , z 3 ) · (−1, 0, 0) dS = 0.
S2
S2→
- La superficie S3 viene definida por y = 0, con vector normal exterior −3 = (0, −1, 0), de
n
donde
→
−
F dS =
(x3 , 0, z 3 ) · (0, −1, 0) dS = 0.
S3
S3
- La superficie S4 se define por la ecuaci´n z = a − x − y, cuando (x, y) ∈ S1 , y tiene por
o
→
vector normal exterior a −4 = (1, 1, 1). Por definici´n,
n
o
→
−
F dS
(x3 , y 3 , (a − x − y)3 ) · (1, 1, 1) dS
=
S1...
→
−
→
−
→
−
→
15. Hallar el flujo del campo − = x2 i + y 2 j + z 2 k a trav´s de la superficie
a
e
x2 + y 2 , 0 ≤ z ≤ 1.
z =1−
a) Directamente.
b) Aplicando el teorema de Gauss.
Soluci´n
o
Llamaremos S a la superficie dada y D a su proyecci´n sobre el plano XY (ver figura).
o
z
S
y
D
x
A partir de la f´rmula expl´
o
ıcita z = 1 − x2 + y 2 ,obtenemos el vector normal exterior a
la superficie:
−x
−y
→
− = − ∂z , − ∂z , 1 =
n
,
,1 .
2 + y2
∂x ∂y
x
x2 + y 2
Como el flujo del campo corresponde a la integral de superficie, por definici´n tenemos que:
o
→
− dS
a
(x2 , y 2 , (1 −
=
→
x2 + y 2 )2 ) · − dxdy
n
D
S
−x3
=
x2
D
+
y2
−
y3
x2
+
y2
+ (1 −
x2 + y 2 )2 dxdy.
Teniendo encuenta que D es el c´
ırculo x2 + y 2 ≤ 1, resolveremos la integral mediante un
cambio a coordenadas polares. As´
ı,
1
→
− dS =
a
S
2π
u·
du
0
0
−u3 cos3 v u3 sen3 v
π
−
+ (1 − u)2 dv = .
u
u
6
Para poder aplicar el teorema de Gauss, la superficie debe ser cerrada. Por lo tanto, consideraremos la superficie formada por la uni´n de S y D y llamamos V al s´lido quelimita
o
o
dicha superficie. De este modo,
→
− dS =
a
S∪D
→
div − dxdydz,
a
V
1
con lo que
→
− dS =
a
→
div − dxdydz −
a
S
V
D
Ahora bien,
√
1−
→
div − dxdydz
a
→
− dS.
a
=
x2 +y 2
(2x + 2y + 2z) dz
dxdy
V
0
D
[(2x + 2y)(1 −
=
x2 + y 2 ) + (1 −
x2 + y 2 )2 ] dxdy.
D
Si hacemos en esta ultima integral un cambioa coordenadas polares, resulta:
´
2π
1
[(2u cos v + 2u sen v)(1 − u) + (1 − u)2 ] dv =
u du
I=
0
0
π
.
6
→
Por ultimo, teniendo en cuenta que el vector − = (0, 0, −1) es normal unitario exterior a
´
n
la superficie D, resulta:
→
− dS =
a
D
(x2 , y 2 , 0) · (0, 0, −1) dxdy = 0.
D
En definitiva,
→
− dS =
a
→
div − dxdydz −
a
S
V
→
− dS = π.
a
6
D
16. Comprobar la f´rmula de Gauss para calcular
o
x3 dydz + y 3 dxdz + z 3 dxdy,
S
donde S es la superficie exterior de una pir´mide formada por los planos x+y+z = a,
a
x = 0, y = 0, z = 0.
Soluci´n
o
La superficie dada est´ compuesta por las cuatro caras del tetraedro de la figura, S =
a
S1 ∪ S2 ∪ S3 ∪ S4 (donde S4 , que es la cara no contenida en ning´n planocoordenado, no
u
se muestra para mayor claridad del dibujo).
z
a
SH2L
SH3L
a
SH1L
a
x
2
y
Si aplicamos el teorema de Gauss, resulta:
→
−
F dS =
(3x2 + 3y 2 + 3z 2 ) dxdydz.
div F dxdydz =
S
V
V
Teniendo en cuenta que la proyecci´n del s´lido V sobre el plano XY es el tri´ngulo limitado
o
o
a
por los ejes coordenados y la recta x + y = 1, entonces la integraltriple se descompone de
la forma siguiente:
(3x2 + 3y 2 + 3z 2 ) dxdydz.
dy
dx
0
0
V
a−x−y
a−x
a
(3x2 + 3y 2 + 3z 2 ) dxdydz =
0
3a5
Al resolver las sucesivas integrales llegamos al resultado I =
. Para resolver la integral
20
directamente, sin aplicar la f´rmula de Gauss, debemos descomponerla en suma de integrales
o
sobre cada una de las caras que limitan lapir´mide. As´ pues:
a
ı
→
- La superficie S se define por la ecuaci´n z = 0 y su vector normal exterior es − =
o
n
1
1
(0, 0, −1). Por tanto,
→
−
F dS =
(x3 , y 3 , 0) · (0, 0, −1) dS = 0.
S1
S1
→
- La superficie S2 viene dada por la ecuaci´n x = 0 y el vector normal exterior es −2 =
o
n
(−1, 0, 0); entonces
→
−
F dS =
(0, y 3 , z 3 ) · (−1, 0, 0) dS = 0.
S2
S2→
- La superficie S3 viene definida por y = 0, con vector normal exterior −3 = (0, −1, 0), de
n
donde
→
−
F dS =
(x3 , 0, z 3 ) · (0, −1, 0) dS = 0.
S3
S3
- La superficie S4 se define por la ecuaci´n z = a − x − y, cuando (x, y) ∈ S1 , y tiene por
o
→
vector normal exterior a −4 = (1, 1, 1). Por definici´n,
n
o
→
−
F dS
(x3 , y 3 , (a − x − y)3 ) · (1, 1, 1) dS
=
S1...
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