feds

Sistemas Vibratorios de un Grado de Libertad
Sujetos a Vibraci´n Libre Amortiguada.
o
Jos´ Mar´ Rico Mart´
e
ıa
ınez
Departamento de Ingenier´ Mec´nica
ıa
a
Facultad de Ingenier´ Mec´nica El´ctrica y Electr´nica
ıa
a
e
o
Universidad de Guanajuato
Salamanca, Gto. 38730, M´xico
e
email: jrico@salamanca.ugto.mx

1

Introducci´n
o

En estas notas se presentan los fundamentoste´ricos de los sistemas vibrao
torios de un grado de libertad sujetos a vibraci´n libre amortiguada. El
o
objetivo de estas notas es su empleo como un auxiliar did´ctico en los cursos
a
de vibraciones mec´nicas.
a

2

Sistemas Vibratorios Discretos y Continuos,
Grados de Libertad de un Sistema Vibratorio.

Considere un sistema vibratorio de un grado de libertad sujeto a vibraci´n
olibre amortiguada, vea figura 1. Este modelo incluye adem´s de una masa
a
y un elemento el´stico, que almacenan energ´ un amortiguador que disipa
a
ıa,
energ´ De manera que este modelo predice que un sistema vibratorio suıa.
jeto a vibraci´n libre amortiguada, eventualemente regresa a su posici´n de
o
o
equilibrio, un fen´meno que se observa en la realidad, de manera que los
oresultados que predice este modelo, son mas realistas que en el caso de un
sistema vibratorio sujeto a vibraci´n libre no amortiguada.
o
1

Figure 1: Sistema Vibratorio de un Grado de Libertad Amortiguado.
Las suposiciones de este modelo son:
1. La masa del sistema es constante y totalmente r´
ıgida, se denomina M.
2. El resorte es lineal y de masa despreciable, por lo tanto es posible
describirel resorte mediante una unica constante, denominada la con´
stante del resorte, k. De manera que la relaci´n entre la fuerza y la
o
deformaci´n del resorte est´ dada por
o
a
F = k δ,

(1)

donde F es la fuerza del resorte y δ es la deformaci´n del resorte.
o
3. El amortiguamiento presente en el sistema es de masa despreciable,
totalmente r´
ıgido, y lineal, por lo tanto es posibledescribir el amortiguador mediante una unica constante, denominada la constante del
´
amortiguador c. De manera que la relaci´n entre la fuerza y la difereno
cia de velocidad entre las terminales del amortiguador est´ dada por
a
F = c v,

(2)

donde F es la fuerza del amortiguador y v es la velocidad entre las
terminales del amortiguador.1
1

Un amortiguador satisface estos requisitoscuando el flujo entre las superficies del
amortiguador es laminar o viscoso, esto ocurre para valores del n´mero de Reynolds
u
menores a 2000.

2

4. El movimiento de la masa es translaci´n rectil´
o
ınea.
A f´ de lograr que la traslaci´n de la masa sea rectil´
ın
o
ınea, es frecuente que
el sistema emplee gu´
ıas, en cuyo caso debe suponerse que las gu´ est´n
ıas
a
completamentelibres de fricci´n o bien, en este caso, la fricci´n es lineal y
o
o
su efecto est´ ya incluido en el coeficiente c considerado en el punto 3.
a
A f´ de obtener la ecuaci´n del movimiento del sistema, se parte de
ın
o
posici´n de equilibrio est´tico del sistema. En esta posici´n, la deformaci´n
o
a
o
o
2
est´tica del resorte est´ dada por
a
a
δest =

Mg
k

(3)

Para obtenerla ecuaci´n de movimiento del sistema. Suponga que a partir
o
de la posici´n de equilibrio del sistema, el sistema se separa de su posici´n de
o
o
equilibrio una distancia y(t) comprimiendo el resorte y se le da una velocidad
dada por y(t) en la direcci´n positiva. Entonces, aplicando la segunda ley de
˙
o
Newton, se tiene que3
ΣFy = M

d2 y(t)
d t2

− M g + k (δest − y(t)) − cd2 y(t)
d y(t)
=M
,
dt
d t2

o

d2 y(t)
d y(t)
=M
.
dt
d t2
Por lo tanto, sustituyendo la ecuaci´n (3) que determina la deformaci´n
o
o
est´tica del resorte, se obtiene la ecuaci´n de movimiento del sistema vibraa
o
torio
dy
d2 y
(4)
M 2 + c + ky = 0.
dt
dt
Donde, M es la masa del sistema, k es la constante del resorte, c es la
constante del amortiguador, y es la...