fisica conceptual

TALLER 4
GEOMETRÍA VECTORIAL Y ANALÍTICA FACULTAD DE INGENIERÍA 2013-1
UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA

Profesor: Jaime Andrés Jaramillo G. jaimeaj@conceptocomputadores.com

1. Coloque para cada una de las siguientes afirmaciones V ó F según considere el enunciado verdadero o falso. En aquellas que su respuesta sea F, dé una breve justificación.

( ) Si y son vectores no nulos, esimposible que simultáneamente y

( ) ,,y Son no paralelos dos a dos y no nulos, entonces el vector es paralelo a la recta intersección de los planos generados por y, y y

( ) Si los puntos A, B, C y D no son colineales 3 a 3, y , entonces A, B, C y D son coplanares

( ) Si P es un punto exterior a la recta , la expresión, permite encontrar la distancia entre el punto y larecta, tanto en el plano como en el espacio.
( ) Si es el ángulo entre y , entonces:
( ) Si , y son vectores libres no nulos y puede afirmarse que , y son coplanares.

( ) Si , y son vectores libres no nulos todos paralelos a un mismo plano, entonces |x(x)| = 0

( ) Al simplificar el producto se obtiene la ecuación de la recta en el plano que contiene el punto A ytiene a como vector director.

2. Considere los puntos A(0,1,1); B(1,0,1) y C(1,1,0)
Hallar:
a. Un vector normal al plano ABC
b. Área de ∆ABC
c. Ecuación de plano ABC
d. Distancia del origen al plano ABC
e. Proyección ortogonal del origen sobre el plano ABC
f. Simétrico del origen respecto al plano ABC
g. Proyección ortogonal del origen sobre la recta AB
h. Simétrico del origen respectoa la recta AB
i. Volumen del tetraedro OABC
j. Verificar las posiciones relativas de las rectas AB y OC
¿Se cortan?
¿Son paralelas?
¿Se cruzan?
k. Hallar la distancia entre las rectas AB y OC
l. Hallar las coordenadas del baricentro, incentro y ortocentro de ∆ABC

3. Sean M(0,1,2); R(-2,0,5) y Q(3,7,1)
Halle la ecuación del plano que pasa por M y es perpendicular al vector

4.Pruebe que los planos π1: -7x + 2y + 3z – 5 = 0 y π2: 2x – 2y +6z – 1 = 0, son perpendiculares.

5. Calcular el volumen del paralelepípedo determinado por los vectores
= , = y = .

6. Calcular el volumen del tetraedro determinado por los vectores y donde P(2,1,-1); Q(-3,1,4), R(-1,0;2) y S(-3,-1,5)

7. Si A,B y C, son puntos distintos, no colineales en el espacio, justifique por quéπ(A,B,C) = {P(x,y,z)/ .= 0}

8. Encuentre un método para identificar si cuatro puntos en el espacio son coplanares. Utilícelo en el caso especifico de los puntos A(2,1,1); B(1,2-3); C(-1,1,4); D(-2,0, -3).

9. Determine la ecuación del plano que contiene a los puntos . ; ;

10. Los puntos ABCD tienen coordenadas: A(1,2,-1); B(0,1,5); C(-1,2,1); D(2,1,3). Determine si los cuatro puntosestán en un mismo plano. En caso afirmativo, encuentre la ecuación cartesiana de ese plano.


11. Calcule el volumen de una pirámide que tiene como base el cuadrilátero ABCD, con A(3,0,-1); B(2,9,3); C(-2,0,4) y D(-4,-6,4), y su vértice es el punto P(0,0,8).

12. Demuestre que para , ε R3, (+ , – , ) = 0.

13. ¿Cuándo se cumple X(X) = (X)X?

14. Demuestre que |X|=

15. Si y sonvectores unitarios y es el ángulo entre ellos, demuestre que =

16. Demuestre que si , , ε R3 entonces X(X) + X(X) + X(X) = 0
(Esta expresión se conoce como la identidad de Jacobi)

17. Demuestre:

18. Sea ABC un triángulo en un sistema cartesiano tridimensional de origen O. Sea A el área del triángulo. Pruébese que:
A = (1/2) .

19. Dadas r1(A, ) y r2(B, ) con y no paralelos,demuestre que la distancia entre ellas está dada por:

δ(r1, r2) =

20. Usando la expresión encontrada en el ejercicio anterior encuentre la distancia entre las rectas r1 y r2:

r1:
x = 1 + 2λ
y = -2 + 3λ
z = -λ
r2:
x = 4 – β
y = -1 + 3β
z = 2 – 2β

21. Dados los puntos ;; y
a. Encuentre la ecuación de plano .
b. Encuentre la distancia entre y .
c. Encuentre la distancia...