fisica para ingenieria

Chapter 1
Matrices. Determinantes. Sistemas
de Ecuaciones Lineales.
1.1

Matrices.

Definici´n. Sean m y n n´meros naturales. Llamaremos matriz de orden m × n a un
o
u
arreglo rectangular de elementos de un cuerpo K, dispuestos en m filas y n columnas.



A=



a11
a21
.
.
.

a12
a22
.
.
.

am1 am2

· · · a1n
· · · a2n
.
...
.
.
· · · amn







En nuestro curso, K ser´ el cuerpo de los n´meros reales, es decir K = R.
a
u
Observaciones.
1. Designaremos las matrices con letras may´sculas: A, B, C, . . . .
u
2. Tambi´n denotaremos las matrices de la siguiente manera: A = (aij )m×n , o simplee
mente, A = (aij ).
3. El elemento aij de la matriz A = (aij ) es el elemento ubicado en la fila i, columna j
de A, llamado entrada i,jo tambi´n componente i,j de la matriz A.
e
a
4. Mm×n (K) denotar´ el conjunto de todas las matrices de orden m × n sobre K.
5. Generalmente a una matriz con una sola fila se le llama matriz fila (o vector fila) y a
una matriz con una sola columna se le llama matriz columna (o vector columna).
1

2

Cap´
ıtulo 1

Ejemplo.



A=



−1
2
5
3 −1
0 ,

1
8 −1





B=



1
2
3 −1 

,
2
1 
−6
3

C=

1 9 −20

son matrices con entradas reales.
Igualdad de Matrices Sean A = (aij ) y B = (bij ) matrices de orden m × n sobre K.
A = B ⇐⇒ aij = bij , ∀ i ∈ {1, 2, . . . , m}, ∀ j ∈ {1, 2, . . . , n}
Nota. Una matriz de orden m × n cuyos elementos son todos cero se llama matriz nula o
matriz cero y se denotar´ 0m×n o con el s´
a
ımbolo0.

1.1.1

Operaciones entre matrices

o
I. Adici´n de matrices.
Sean A = (aij ) y B = (bij ) matrices de orden m × n sobre K. La suma entre A y B,
denotada A + B es la matriz de orden m × n, definida por:
A + B = (cij ), donde cij = aij + bij
para todo i ∈ {1, 2, . . . , m}, j ∈ {1, 2, . . . , n}
II. Multiplicaci´n de un escalar por una matriz.
o
Sea λ un escalar (un elemento de K)y sea A = (aij ) una matriz de orden m × n
sobre K. El producto del escalar λ por A, denotado λA es la matriz de orden m × n,
definida por:
λ A = (dij ), donde dij = λ · aij
para todo i ∈ {1, 2, . . . , m}, j ∈ {1, 2, . . . , n}
III. Multiplicaci´n de matrices.
o
Sean A = (aij ) matriz de orden m × n sobre K, B = (bij ) matriz de orden n × s sobre
K. El producto de las matrices A y B, es lamatriz de orden m × s, denotado A · B
o tambi´n AB, definido por:
e
A · B = (mij ), donde mij = ai1 b1j + ai2 b2j + · · · + ain bnj
para todo i ∈ {1, 2, . . . , m}, j ∈ {1, 2, . . . , s}

Algebra

3

Propiedades.
1. Sean A, B y C matrices de orden m × n sobre K.
(a)
(b)
(c)
(d)

A + (B + C) = (A + B) + C.
A + B = B + A.
A + 0 = A = 0 + A, donde 0 es la matriz nula de orden m ×n.
−A = (−aij ) de orden m × n, es la matriz inversa aditiva de A, tal que:
A + (−A) = 0 = (−A) + A.

2. Sean A, B y C matrices de orden m × n sobre K, y sean α, β ∈ K.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)

(α + β)A = αA + βA.
α(A + B) = αA + αB.
α(βA) = (αβ)A.
1 A = A, donde 1 es el elemento unidad de K.
α0m×n = 0m×n ; 0 A = 0m×n

3. Sean A, B y C matrices.
(a) A · (B · C) = (A · B) · C, paratoda matriz A de orden m × n, B de orden n × s,
C de orden s × r.
(b) λ(A · B) = (λA) · B = A · (λB), para todo λ ∈ K.
(c) A · (B + C) = A · B + A · C, para toda matriz A de orden m × n, B y C de orden
n × s.
(d) A · 0n×s = 0m×s , para toda matriz A de orden m × n.
Nota.

La multiplicaci´n de matrices no es conmutativa.
o

Transpuesta de una matriz. Sea A = (aij ) matriz de orden m × nsobre K. La matriz
transpuesta de A, denotada At es la matriz de orden n × m, definida por:
At = (bij ), donde bij = aji para todo i, j.
Nota.

Las filas de At son las columnas de A.

Propiedades
(a) (At )t = A, para toda matriz A de orden m × n.
(b) (A + B)t = At + B t , para toda matriz A y B de orden m × n.
(c) (λA)t = λAt , para todo escalar λ y A de orden m × n.
(d) (A · B)t = B t...