Fisica

Apuntes de An´lisis Num´rico a e
1. Sistemas de ecuaciones no lineales
La forma general de un sistema de ecuaciones no lineales es:   f1 (x1 , x2 , . . . , xn ) = 0    f2 (x1 , x2 , . . . , xn ) = 0 [1] . .  .    fn (x1 , x2 , . . . , xn ) = 0 Podemos considerar las funciones reales fi : U ⊂ Rn → Rn como funciones coordenadas de la funci´n vectorial F : Rn → Rn definida por: o F(x1 , x2, . . . , xn ) = f1 (x1 , x2 , . . . , xn ), f2 (x1 , x2 , . . . , xn ), . . . , fn (x1 , x2 , . . . , xn )

El sistema (1) se escribe entonces de manera vectorial como: F(x) = 0 La soluci´n del sistema ser´ un vector x = (x1 , x2 , . . . , xn ) donde las variables x1 , x2 , . . . , xn o a satisfacen (1).

Ejemplo 1.

Escribir vectorialmente el sistema: x2 − 10x1 + x2 + 8 = 0 1 2 x1 x2 + x1− 10x2 + 8 = 0 2

Soluci´n. Definiendo la funci´n F(x1 , x2 ) como: o o
F(x1 , x2 ) = x2 − 10x1 + x2 + 8, x1 x2 + x1 − 10x2 + 8 1 2 2 f1 (x1 , x2 ) donde las funciones coordenadas de F son: f1 (x1 , x2 ) = x2 − 10x1 + x2 + 8 1 2 f2 (x1 , x2 ) = x1 x2 + x1 − 10x2 + 8 2 el sistema se puede escribir vectorialmente como: F(x1 , x2 ) = (0, 0) f2 (x1 , x2 )

Apuntes de An´lisis Num´rico — Prof.Yoel Monsalve a e

–2–

M´todos para resolver sistemas de ecuaciones no lineales e
Contamos con diversos m´todos iterativos que permiten aproximar la soluci´n de un sistema e o de ecuaciones no lineal, entre los cuales est´n el m´todo de punto fijo, y el m´todo de Newton. a e e El m´todo de punto fijo e Consiste en escribir un sistema: F(x) = 0 de la forma: x = G(x) lo cual se logra manipulandoalgebraicamente las ecuaciones de alguna forma. Entonces formamos la sucesi´n: o x(n) = G x(n−1) a partir de una estimaci´n inicial x(0) . Bajo ciertas condiciones, esta sucesi´n converge a una o o soluci´n del sistema [1]. o Aplicando iteraci´n de punto fijo, aproximar una soluci´n al sistema del ejemo o (n−1) − x(n) −3 . plo 1, hasta que x < 10 ∞ [1]

Ejemplo 2.

Soluci´n. El sistema es: ox2 − 10x1 + x2 + 8 = 0 1 2 x1 x2 + x1 − 10x2 + 8 = 0 2

la idea es despejar x1 de la primera ecuaci´n, y x2 de la segunda. Existen varias maneras de o hacer esto, elijamos:  2 2   x1 = x1 + x2 + 8 = g1 (x1 , x2 )  10 2+x +8   1  x2 = x1 x2 = g2 (x1 , x2 ) 10 La idea es escribir:  (n)  x1 = g1 x1 (n−1) , x2 (n−1)  o sea: x2
(n)

= g2 x1 (n−1) , x2 (n−1) x1 (n−1)
2

    (n)  x = 1    (n)   x = 2

+ x2 10

(n−1) 2

+8

x1 (n−1) x2 (n−1) + x1 (n−1) + 8 10

2

Entonces, por ejemplo, para n = 0, en el problema nos dan: x1 (0) x2 (0 = 1 1.5

Apuntes de An´lisis Num´rico — Prof. Yoel Monsalve a e

–3–

para n = 1 tendr´ ıamos:
(1)

x1

= =

x1 (0)

2

+ x2 10

(0) 2

+8

=

12 + 1. 52 + 8 = 1. 1250 10

(1) x2

x1 (0) · x2 (0)+ x1 0) + 8 1 · (1. 5)2 + 1 + 8 = = 1. 1250 10 10 = 1 1. 5 − 1. 1250 1. 1250 =
∞

2

y: x(0) − x(1)
∞

−0. 1250 0. 3750

= 0. 3750
∞

Continuando este proceso, para n = 2, 3, etc, rellenamos la siguiente tabla: n x1 x2 (n) x(n−1) − x(n)
(n)

0 1. 0000 1. 5000

1 1. 1250 1. 1250

2 1. 0531 1. 0549

3 1. 0222 1. 0225

4 1. 0090 1. 0091

5 1. 0036 1. 0037

6 1. 0015 1.0015

7 1. 0006 1. 0006

3. 8x10−1 7. 2x10−2 3. 2x10−2 1. 3x10−2 5. 4x10−3 2. 2x10−3 8. 8x10−4 < 10−3 .

Paramos en n = 7 porque ya se logr´ x(n−1) − x(n) o

∞

La variante de Seidel Consiste en ir utilizando en cada etapa los valores presentes de las variables que ya se han obtenido, es decir, formular el algoritmo no de la forma: x1 (n) = f1 ( x1 (n−1) , x2 (n−1) , x3 (n−1) , . . . , xn(n−1) ) x2 (n) = f2 ( x1 (n−1) , x2 (n−1) , x3 (n−1) , . . . , xn (n−1) ) . . . xn (n) = fn ( x1 (n−1) , x2 (n−1) , x3 (n−1) , . . . , xn (n−1) ) como lo postula el algoritmo cl´sico de punto fijo, sino como: a x1 (n) x2 (n) x3 (n) = f1 ( x1 (n−1) , x2 (n−1) , x3 (n−1) , x4 (n−1) , . . . , xn (n−1) ) = f1 ( x1 (n) , x2 (n−1) , x3 (n−1) , x4 (n−1) , . . . , xn (n−1) ) = f1 ( x1 (n) , x2 (n) , x3...