Fisica

1

Cap´
ıtulo 4

Inecuaciones
M.Sc. Alcides Astorga M., Lic. Julio Rodr´
ıguez S.

Instituto Tecnol´gico de Costa Rica
o
Escuela de Matem´tica
a

···
Revista digital Matem´tica, educaci´n e internet (www.cidse.itcr.ac.cr)
a
o

2
Cr´ditos
e

Primera edici´n impresa:
o
Edici´n LaTeX:
o
Colaboradores:
Edici´n y composici´n final:
o
o
Gr´ficos:
a
Comentarios ycorrecciones:

´
Rosario Alvarez, 1984.
Marieth Villalobos, Alejandra Araya, Jessica Chac´n, Mar´ Elena Abarca, Lisseth Angulo.
o
ıa
y Walter Mora.
Cristhian Pa´z, Alex Borb´n, Juan Jos´ Fallas, Jeffrey Chavarr´
e
o
e
ıa
Walter Mora.
Walter Mora, Marieth Villalobos.
escribir a wmora2@yahoo.com.mx

Contenido
4.1
4.2

4.3
4.4

4.1

Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Operaciones con intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Inecuaciones lineales con una inc´gnita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
4.2.2 Inecuaciones enlas que cada uno de sus miembros es o puede expresarse como un producto
y el otro miembro es cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.3 Resolviendo inecuaciones con tablas de signos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Inecuaciones cuadr´ticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
Inecuacionespolimoniales de grado mayor que 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 Inecuaciones en las que uno de sus miembros es un cociente y el otro miembro es cero. .

. 3
. 6
. 11
. 15
.
.
.
.
.

26
33
39
48
55

Intervalos

En el Cap´
ıtulo 1, estudiamos algunos subconjuntos del Conjunto de los N´meros Reales, entre estos vimos: el
u
Conjunto de los N´merosNaturales, el Conjunto de los N´meros Enteros, el Conjunto de los N´meros Racionales
u
u
u
y el Conjunto de los N´meros Irracionales. Estudiaremos a continuaci´n otros subconjuntos del Conjunto de
u
o
los N´meros Reales, a los cuales llamaremos intervalos.
u
Para esto es conveniente recordar que es posible establecer una correspondencia biun´
ıvoca, entre los puntos de
una recta (rectanum´rica), y el Conjunto de los N´meros Reales. As´ para cada n´mero real corresponde un,
e
u
ı,
u
y s´lo un, punto de la recta num´rica, e inversamente cada punto de la recta num´rica representa un, y s´lo un,
o
e
e
o
n´mero real.
u
Definici´n 1
o
Sean a y b n´meros reales tales que a es menor que b (a < b). Se llama intervalo abierto de extremos a y b,
u
al conjunto cuyos elementos son losn´meros reales x que cumplen la condici´n de que:
u
o
a 22
b.)

5
≥ −2
2

c.) 3 <

√

24

d.) x + 2 ≥ 5
e.) x ≤ y
f.) x + 3 < y − 5
Definici´n 9
o
Una desigualdad entre dos expresiones algebraicas donde al menos una de ellas involucra variables, recibe el
nombre de inecuaci´n.
o

Ejemplo 14
a.) x + 2 ≥ 5
b.) x · y + z ≤ x + 3
c.)
d.)

x+y
>1
x−y
√

5x − 2 < 3e.) x + y < −3x − y
d.) a3 − 1 ≥ 0

Definici´n 10
o
En una inecuaci´n las variables involucradas reciben el nombre de inc´gnitas.
o
o
Definici´n 11
o

13
Si la inecuaci´n involucra n variables, se dice que es una inecuaci´n con n inc´gnitas.
o
o
o

A continuaci´n nuestro objetivo es estudiar, analizar y resolver inecuaciones con una inc´gnita.
o
o
Definici´n 12
o
En unainecuaci´n con una inc´gnita, cualquier n´mero real que est´ contenido en el dominio de las inc´gnitas,
o
o
u
e
o
y que al sustituirse por la inc´gnita en la inecuaci´n hace que la desigualdad correspondiente sea verdadera, es
o
o
una soluci´n de la inecuaci´n.
o
o

Ejemplo 15
a.) En x + 2 > 3; si x se sustituye por 5, se obtiene una desigualdad verdadera: 5 + 2 > 3; adem´s 5 pertenece...