Fisica

Capítulo 6

La integral de Riemann
Vamos a dar una definición precisa de la integral de una función definida en un intervalo. Este
tiene que ser un intervalo cerrado y acotado, es decir [a, b] con a < b ∈ R, y la definición que daremos
de integral solo se aplica a funciones acotadas, y no a todas, sino a las funciones que llamaremos
integrables.
En el siguiente capítulo veremos cómo, en un sentidomás amplio, podemos hablar de integrales
de funciones no acotadas o definidas en intervalos no acotados.
Seguimos básicamente el desarrollo que puede verse, entre otros muchos textos, en [RO S S, cap. VI,
pág. 184 y sigs.] o en [BA RT L E - S H E R B E RT, cap. 6, pág. 251 y sigs.]. Como complemento puede consultarse [G U Z M Á N, cap. 12]. La evolución histórica de la integral está muy bien contada(sobre todo la
aportación de Newton y Leibniz) en [D U R Á N]; de carácter más técnico es el libro [G R AT TA N - G U I N N E S S].

6.1. Definición (de Darboux) de la integral de Riemann
6.1.1.

Definición de integral

Definición 6.1.1. Una partición de un intervalo [a, b] es un conjunto finito de puntos de [a, b] que
incluye a los extremos. Una partición P la representamos ordenando sus puntos demenor a mayor,
comenzando en a y terminando en b:
P = {xi }n=0 ≡ {a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn−1 < xn = b}.
i

El conjunto de las particiones de [a, b] lo indicamos con P ([a, b]). Una partición como la indicada
divide el intervalo [a, b] en n subintervalos [xi−1 , xi ], cada uno de longitud xi − xi−1 .

Definición 6.1.2 (sumas de Darboux). Sea f una función acotada definida en [a, b], y sea P ∈
P([a, b]), P ≡ {a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn−1 < xn = b}. Sean, para cada i = 1, . . . , n,
Mi = sup{ f (x) : x ∈ [xi−1 , xi ]};

mi = ´nf{ f (x) : x ∈ [xi−1 , xi ]}.
ı

La suma inferior de f asociada a P se define como
n

S( f , P) = ∑ mi (xi − xi−1 ),
i=1

y la suma superior de f asociada a P es
n

S( f , P) = ∑ Mi (xi − xi−1 ).
i=1

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Capítulo 6. La integral de Riemann

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f (x)
f (x)

a x1x2

...

xn−1

b

Suma inferior asociada a una partición

a x1

x2

...

xn−1

b

Suma superior asociada a una partición

Observación. Para cualquier P ∈ P ([a, b]) tenemos que S( f , P) ≤ S( f , P), ya que mi ≤ Mi para cada
i. También, poniendo M = sup{ f (x) : x ∈ [a, b]}, m = ´nf{ f (x) : x ∈ [a, b]}, se deduce que m(b − a) ≤
ı
S( f , P) ≤ S( f , P) ≤ M (b − a) cualquiera que sea la particiónP (y por consiguiente, tanto el conjunto
de las sumas superiores como el de las sumas inferiores están acotados, superiormente por M (b − a),
inferiormente por m(b − a)).
Nota (relación entre la integral y la medida de áreas). Supongamos que f es una función no
negativa y consideremos la región que delimita su gráfica con las rectas y = 0, x = a y x = b. Si el área
de dicha región es A, entonces
S(f , P) ≤ A ≤ S( f , P),

ya que las respectivas sumas son las áreas que obtenemos si cambiamos f en cada [xi−1 , xi ) por mi o
Mi , y los hemos definido de forma que mi ≤ f ≤ Mi (de hecho hemos tomado los valores más ajustados
que cumplen dichas desigualdades).

a x1

x2

...

xn−1

b

Suma superior, área y suma inferior

En la figura, se representan en distinto color la diferencia entre la sumasuperior y el área A y
la diferencia entre A y la suma inferior. Parece claro que si tomamos una partición suficientemente
nutrida de puntos podemos conseguir que estas zonas sean muy pequeñas, de forma que tanto la suma
superior como la inferior sean arbitrariamente próximas al área A.

6.1. Definición (de Darboux) de la integral de Riemann

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Definición 6.1.3. Dada f acotada en [a, b], se definesu integral inferior en [a, b] como
b
a

f = sup{S( f , P) : P ∈ P ([a, b])},

y su integral superior en [a, b] como
b
a

f = ´nf{S( f , P) : P ∈ P ([a, b])}.
ı

Notemos que, como consecuencia de la observación previa, la integral inferior y la superior son
valores reales perfectamente definidos para cualquier función acotada en un intervalo cerrado y acotado. No es difícil adivinar que la...