fisica

MODELADO CON ECUACIONES
DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
3.1 Ecuaciones lineales
3.2 Ecuaciones no lineales
3.3 Sistemas de ecuaciones lineales y no lineales
Ejercicios de repaso

‘@B
-

En la sección 1.3 explicamos que muchos modelos matemáticos, como los del crecimiento demográfico, la desintegración radiactiva, el interés compuesto continuamente,

l

las reacciones químicas, unlíquido que sale por un agujero en un tanque, la velocidad
de caída de un cuerpo, la rapidez de memorización y la corriente en un circuito en
serie, son ecuaciones diferenciales de primer orden. Ahora ya podemos resolver
algunas de las ecuaciones diferenciales, lineales y no lineales, que surgen con frecuencia en las aplicaciones. El capítulo termina con el tema de los sistemas de ecuacionesdiferenciales de primer orden como modelos matemáticos.

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CAPíTULO

3 MODELADO

CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

ECUACIONES

LINEALES

w Crecimiento y decaimiento exponencial n Periodo medio
n Datación con radiocarbono w Ley de Newton del enji-iamiento w Mezclas
n Circuitos en serie n Tirmino transitorio H Término de estado estable

Crecimiento y

decaimientoEl problema de valor inicial

dx - kx,
z-

x(to) = xo,

en donde k es una constante de proporcionalidad, se emplea como modelo de distintos
fenómenos donde intervienen crecimiento o decrecimiento (desintegración). En la sección
1.3 describimos que, en biología, se ha observado que en cortos periodos la tasa de crecimiento
de algunas poblaciones (como las de bacterias o de animalespequeños) es proporcional a la
población presente en cualquier momento. Si conocemos una población en cierto momento
inicial arbitrario, que podemos considerar definido por t = 0, la solución de (1) nos sirve para
predecir la poblacion en el futuro -esto es, para t > 0-. En física, un problema de valor
inicial como las ecuaciones (1) puede servir de modelo para calcular aproximadamente lacantidad residual de una sustancia que se desintegra o decae en forma radiactiva. Esa ecuación
diferencial (1) también puede describir la temperatura de un objeto que se enfría. En química,
la cantidad residual de una sustancia en ciertas reacciones se apega a la ecuación (1).
La constante de proporcionalidad k, en (l), se puede hallar resolviendo el problema de
valor inicial, con una determinaciónde x en un momento tl > to.
Crecimiento

bacteriano

Un cultivo tiene una cantidad inicial NO de bacterias. Cuando t = 1 h, la cantidad medida
de bacterias es $0. Si la razón de reproducción es proporcional a la cantidad de bacterias presentes, calcule el tiempo necesario para triplicar la cantidad inicial de los microorganismos.
SOLUCIÓN

Primero se resuelve la ecuación diferencial
$=kNsujeta a N(O) = NO. A continuación se define la condición empírica N( 1) = $Vs para hallar k,
la constante de proporcionalidad.
Con ello, la ecuación (2) es separable y lineal, a la vez. Cuando se escribe en la forma

podemos ver por inspección que el factor integrante es c-kl . Multiplicamos ambos lados de
la ecuación por ese factor y el resultado inmediato es
f [eekrN] = 0.

Sección3.1 Ecuaciones lineales 73

Integramos ambos lados de la última ecuación para llegar a la solución general
e*‘N = c, 0 sea N(t) = ceA’.
Cuando t = 0, NO = ceo = c y, por consiguiente, N(t) = Noekt. Cuando t = 1, entonces :NO =
Nsek, o bien ek = G. Con la última ecuación obtenemos k = In z = 0.4055. Así
N(t) = N0e”,4055t.

Para establecer el momento en que se triplica la cantidad debacterias, despejamos t de
3No = Noe0.4055’; por consiguiente, 0.4055t = In 3, y así

In 3

- = 2.71 h.
t = 0.4055

Véase la figura 3.1.

FIGURA 3.1

En el ejemplo 1 obsérvese que la cantidad real, NO, de bacterias presentes en el momento
t = 0, no influyó para la definición del tiempo necesario para que el cultivo se triplicara. El

tiempo requerido para triplicar una población inicial...