fisica

SESIÓN 3: ANÁLISIS VECTORIAL

Lic. Fís. Javier Pulido Villanueva

Introducción
El ángulo entre la cuerda y la
viga de conexión puede
determinarse formulando los
vectores unitarios a lo largo
de la viga y la cuerda para
después usar el producto
escalar.
La proyección de la fuerza
del cable a lo largo de la viga
puede ser determinada al
determinar primero el vector
unitario
quedefine
la
dirección de la viga.

Producto Escalar de dos vectores
DEFINICIÓN
El producto escalar de dos vectores 𝑨 y 𝑩, representado por el símbolo
𝑨 ∙ 𝑩, se define como el producto de las magnitudes de 𝑨 y 𝑩 y el
coseno del ángulo 𝜃 formado por 𝑨 y 𝑩. Se escribe
𝑩
𝑨 ∙ 𝑩 = 𝐴𝐵 cos 𝜃
𝜃
donde 0° ≤ 𝜃 ≤ 180°.

𝐵 cos 𝜃

𝑨

El producto escalar de dos vectores 𝑨 y 𝑩 da como resultado unescalar y no un vector.

Puesto que 𝐵 cos 𝜃 representa el módulo de la proyección del vector 𝑩
sobre la dirección del vector 𝑨, esto es 𝐵 cos 𝜃 = proy 𝐴 𝑩, será
𝑩
𝑨 ∙ 𝑩 = 𝐴 proy 𝐴 𝑩

𝜃
proy 𝐴 𝑩

𝑨

de modo que el producto escalar de dos vectores también puede
definirse como producto del módulo de uno de los vectores por la
proyección del otro sobre él.
La longitud proyectada 𝐵cos 𝜃 se denomina componente ortogonal de 𝑩
en la dirección de 𝑨.

PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR
1. ES CONMUTATIVO
𝑨∙ 𝑩= 𝑩∙ 𝑨
2. ES DISTRIBUTIVO
𝑨∙

𝑩+ 𝑪 = 𝑨∙ 𝑩+ 𝑨∙ 𝑪

3. MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR: ley asociativa
𝑎 𝑩∙ 𝑪 =

𝑎𝑨 ∙ 𝑩 = 𝑨 ∙ 𝑎𝑩 =

𝑨∙ 𝑩 𝑎

4. CONDICIÓN DE PERPENDICULARIDAD
Si dos vectores 𝑨 y 𝑩 son perpendiculares su producto escalar es
cero. En efecto
𝑨 ∙ 𝑩 =𝐴𝐵𝑐𝑜𝑠𝜃
como 𝜃 = 90° entonces cos 90° = 0, luego
𝑨∙ 𝑩=0

5. CONDICIÓN DE PARALELISMO
Si dos vectores 𝑨 y 𝑩 tienen la misma dirección y sentido, su
producto escalar es igual al producto de sus módulos.
En efecto
𝑨 ∙ 𝑩 = 𝐴𝐵𝑐𝑜𝑠𝜃
como 𝜃 = 0° entonces cos 0° = 1, luego
𝑨 ∙ 𝑩 = 𝐴𝐵

si 𝑨 lo multiplicamos consigo mismo
𝑨 ∙ 𝑨 = 𝐴2
o también si 𝑩 lo multiplicamos consigo mismo
𝑩 ∙ 𝑩 = 𝐵2

6.PRODUCTO ESCALAR DE LOS VECTORES UNITARIOS CARTESIANOS
Los vectores unitarios cartesianos 𝒊, 𝒋 y 𝒌 tienen magnitud 1 y son
perpendiculares entre sí. De la definición de producto escalar,
𝒊 ∙ 𝒋 = 1 1 cos 90° = 1 1 0 = 0

de forma análoga para 𝒊 ∙ 𝒌 y 𝒋 ∙ 𝒌, se tiene
𝒊∙ 𝒋= 𝒊∙ 𝒌= 𝒋∙ 𝒌 =0
Luego expresamos para
𝒊 ∙ 𝒊 = 1 1 cos 0° = 1 1 1 = 1
de forma análoga para 𝒋 ∙ 𝒋 y 𝒌 ∙ 𝒌,se tiene
𝒊∙ 𝒊=𝒋∙ 𝒋= 𝒌∙ 𝒌=1

7. EXPRESIÓN ANÁLITICA DEL PRODUCTO ESCALAR
Sean los vectores 𝑨 y 𝑩 expresados en su forma rectangular

𝑨 = 𝐴𝑥𝒊+ 𝐴𝑦𝒋+ 𝐴𝑧 𝒌
𝑩 = 𝐵𝑥 𝒊 + 𝐵 𝑦 𝒋 + 𝐵𝑧 𝒌
Su producto escalar será
𝑨∙ 𝑩=

𝐴𝑥𝒊+ 𝐴𝑦𝒋+ 𝐴𝑧 𝒌 ∙

𝐵𝑥 𝒊 + 𝐵 𝑦 𝒋 + 𝐵𝑧 𝒌

desarrollando y aplicando la Propiedad 6, se tiene
𝑨 ∙ 𝑩 = 𝐴 𝑥 𝐵𝑥 + 𝐴 𝑦 𝐵𝑦 + 𝐴 𝑧 𝐵 𝑍

8. MÓDULO DE UN VECTOR
Si 𝑨 = 𝐴 𝑥 𝒊 + 𝐴 𝑦 𝒋 + 𝐴 𝑧 𝒌 lomultiplicamos consigo mismo se tiene
𝑨 ∙ 𝑩 = 𝐴2 = 𝐴2𝑥 + 𝐴2𝑦 + 𝐴2
𝑧
9. ÁNGULO FORMADO POR DOS VECTORES
El ángulo entre dos vectores 𝑨 y 𝑩 pueden determinarse a partir de
la definición, así

𝐴∙ 𝐵
cos 𝜃 =
𝐴𝐵
luego por propiedad 7, se tiene
𝐴 𝑥 𝐵𝑥 + 𝐴 𝑦 𝐵 𝑦 + 𝐴 𝑧 𝐵𝑧
cos 𝜃 =
𝐴𝐵
donde 0° ≤ 𝜃 ≤ 180°

PROBLEMA EJEMPLO 1
Dado los vectores
𝑨 = 𝒊 − 𝒋 + 2𝒌 N
𝑩 = −𝒊 + 3𝒋 + 4𝒌 m
Calcular:
(a) Elproducto escalar de ambos vectores.

(b) El ángulo entre 𝑨 y 𝑩.
(c) La proyección de 𝑩 sobre 𝑨.

PROBLEMA EJEMPLO 2
La abrazadera se usa sobre una plantilla. Si la fuerza vertical que
actúa sobre el perno es 𝑭 = −500𝒌 N, determine las magnitudes de
sus componentes 𝑭1 y 𝑭2 que actúan a lo largo del eje OA y en forma
perpendicular a éste.

Producto Vectorial de dos vectores
DEFINICIÓN
Elproducto vectorial o producto vector de dos vectores 𝑨 y 𝑩 da como
resultado otro vector 𝑪, se escribe
𝑪= 𝑨× 𝑩
𝑩

𝑪= 𝑨× 𝑩
𝜃

𝑨
La línea de acción de 𝑪 es perpendicular al plano formado por los
vectores 𝑨 y 𝑩.

La magnitud del vector 𝑪 se define como
𝐶 = 𝐴𝐵 sen 𝜃 ;

0° ≤ 𝜃 ≤ 180°

La dirección y sentido del vector 𝑪 se obtiene a partir de la regla de la
mano derecha.
𝒖𝐶...