Fisica

Tema 2. Cinemàtica del punt
2.1. Posició, velocitat i acceleració. 2.2. Moviment en una línia recta. 2.3. Moviment en un pla. 2.4. Acceleració tangencial i normal. 2.5. Moviment circular. 2.6. Coordenades polars. 2.7. Moviment relatiu.

2.1. Posició, velocitat i acceleració Posició,
En un espai 1-D, definim la velocitat mitjana com

v med

∆x = ∆t

Si fem que ∆t 0, podem definir lavelocitat en un disntant determinat com

∆x dx v = lim = ∆t→ 0 ∆ t dt
De la mateixa manera, podem definir l’acceració d’un punt en un instant donat com

∆v dv a = lim = ∆t→ 0 ∆ t dt

2.1. Posició, velocitat i acceleració
En un espai 3-D tenim el vector de posició:
z P (x, y, z) r y

z

k i x j

r r r = r (t )
x

v r O r'

v'

r'' y

v''

la velocitat instantània la podemcalcular com

r r r r r ∆r r (t + ∆ t ) − r (t ) d r = lim = v = lim ∆t→ 0 ∆ t ∆t→ 0 ∆t dt
i, l’acceleració queda:

r 2r r dv d r a = = dt dt 2

2.1. Posició, velocitat i acceleració
Cal tenir en compte que:

r d r dx r dy r dz r v (t ) = r (t ) = i + j+ k dt dt dt dt
vx
I el mateix passa amb l’acceleració

vy

vz

r d r dv x r dv y r dv z r a (t ) = v (t ) = i + j+ k dt dt dt dtr r r = axi + a y j + azk

2.2. Moviment en una línia recta

x

dx v= dt
dv a= dt

→ ∫vdt = ∫dx → ∆x = x − x0 = ∫ vdt
→ adt = dv

∫

∫

→ ∆v = v − v0 = ∫ adt

2.2. Moviment en una línia recta
vmed ∆x = ∆t

dx v= dt

2.2. Moviment en una línia recta
dv a= dt

∆x = ∫ vdt

v = vmed

∆x 1 = = ∫ vdt ∆t ∆t

2.2. Moviment en una línia recta
Problema

2.2. Movimenten una línia recta
Problema

2.2. Moviment en una línia recta Acceleració depenent de la posició: Càlcul de la velocitat en funció de la posició. dv = a ( x) dt dv dx = a(x) dt dx Regla de la dv dx cadena = a( x) dx dt dv v = a ( x) dx

∫ vdv = ∫ a( x)dx

2.2. Moviment en una línia recta
Acceleració depenent de la posició: Exemple
a( x) = −bx →
dv v = −bx dx dv = −bx dt

∫v vdv =−b∫x xdx
0 0

v

x

1 2v −b 2 v = x 2 v0 2

x x0

v=

[

2 v0

−b x

(

2

2 1/ 2 − x0

)]

2.2. Moviment en una línia recta
Problema

2.3. Moviment en un pla
Recordem que el vector posició en coordenades cartesianes és:
z P (x, y, z)

r r r r r (t ) = xi + yj + zk

k i x j

r

La velocitat:

y

r d r dx r dy r dz r v (t ) = r (t ) = i + j+ k = dt dt dt dt rr r = vxi + v y j + vz k
I l’acceleració

r d r dv x r dv y r dv z r a (t ) = v (t ) = i + j+ k dt dt dt dt r r r = axi + a y j + azk

2.3. Moviment en un pla
Moviment de projectils
y y vy v
0

vy v0 θ0

v vx x

v vx vy v vx x vy v vx

v0 y

θ

0

v0 x v x

vy

v

2.3. Moviment en un pla

Velocitat i acceleració

2.4. Acceleració tangencial i normal
Coordenadesintrínseques: Radi de curvatura
Per una trajectòria curvilínia podem aproximar un arc a

ds = ρ dθ
On ρ és el radi de curvatura. Podem escriure la velocitat com Aleshores

v=

ds dθ =ρ dt dt

dθ v = dt ρ

I l’acceleració ens queda

r dv r v 2 r a = et + en dt ρ

2.4. Acceleració tangencial i normal
Components intrínseques de l’acceleració
El vector acceleració a es pot expressaren components tangencial i normal a la direcció instantània de la trajectòria. És a dir,

r r r a = at et + an en
La component tangencial de l’acceleració correspon a la derivada del mòdul de la velocitat

at =

dv dt

per tant, aquesta component de l’acceleració determina la variació de la magnitud de la velocitat. La component normal de l’acceleració és 2

an = v

La componentnormal de l’acceleració determina el corbament de la trajectòria.. a a nen
en
en

dθ v = dt ρ

r
O s P r

et

v = v et

a t et P et

r
O s r

2.4. Acceleració tangencial i normal
Problema
r aA

r vA
r aA

r vC
r aC

r vB

r aB

2.4. Acceleració tangencial i normal
Components de l’acceleració Problema
at = dv dt

Sol: at=an=2 m s-2

2.4. Acceleració...