Fisica

Universidad Manuela Beltr´n a
Departamento de Ciencias B´sicas a M´todos N´mericos e u Semestre 2013-1

Taller 2.Primer Corte
M´todos directos e iterativos para resolver sistemas lineales. e Objetivos: Afianzar los conocimientos aquiridos en el aula de clases con el fin desarrollar destrezas en la resolucion de problemas mediante tecnicas numericas establecidas. Ejercicios Tomados del LibroAn´lisis N umerico 7ed de Richard Burden y J.Douglas Faires. a ´ 1. Use el algoritmo de la eliminaci´n gaussiana para resolver los sistemas lineales siguientes, de ser posible, y determine si se o requieren intercambios de filas. a) x1 − x2 + 3x3 3x1 − 3x2 + x3 x1 + x2 = = = 2 −1 3 d) x1 − 0.5x2 + x3 2x1 − 1.5x2 + 3x3 −x1 + 2x3 4x1 − 4.5x2 + 5x3 = = = 1 3 1 2x1 − x2 − x3 + x4 x1 + x2 x1 − 0.5x2 + x3 +x4 = = = = 4 5 2 5 c) 2x1 x1 + 1.5x2 −3x2 + 0.5x3 2x1 − 2x2 + x3 + x4 = = = = 3 4.5 −6.6 0.8 f) x1 + x2 + x4 = 2 = 1 = 0 = −3 e) x1 + x2 + x4 = 2 = 1 = 4 = −3

2x1 + x2 − x3 + x4 −x1 + 2x2 + 3x3 − x4 3x1 − x2 − x3 + 2x4

b)

2x1 + x2 − x3 + x4 4x1 − x2 − 2x3 + 2x4 3x1 − x2 − x3 + 2x4

2. Resuelva los siguientes sistemas lineales. a)   1 0 0 2  2 1 0  0 −1 0 1 0 3 −2 0     −1 x12 1   x2  =  −1  3 x3 1 b)  2  −1 3  0 0 1 1 0  0 2 −1 0 1 1 0     1 x1 −1 2   x2  =  3  1 x3 0

3. Considere las siguientes matrices. Encuentre la matriz donde L es triangular inferior con unos en su diagonal    1 2 −1 1 1 −1 1 1 4 a) A = 2 4 0  b) A =  2 −1 2 0 1 −1 2 −1 2 4. Factorice las  2 a) A = 3 3  2 1 b) A =  0 2

de permutaci´n P, tal que PA sepueda factorizar en el producto LU, o y donde U es triangular superior para las siguientes matrices.      0 0 1 1 0 1 1 2 0 1 1 −1 3 c) A = 1 −2 −1   d) A =  1 2 −1 3  4 1 −1 1 3 1 1 2 0 de factorizaci´n LU con lii = 1 para todo i. o  −2.132 3.104 4.906 −7.013 −7.013 0.014  4.0231 −2.1732 5.1967 6.0000 0 1.1973    −5.2107 1.1111 0 7.0000 0 −4.1561

siguientes matrices en ladescomposici´n LU aplicando el algoritmo o   −1 1 1.012 3 9 c) A = −2.132 3 5 3.104   0 0 0 2.1756 −4.0231 1.5 0 0  d) A =  −1.0000 −3 0.5 0 −2 1 1 6.0235

5. Modifique el algoritmo de factorizaci´n LU de manera que sirva para resolver un sistema lineal; despu´s, resuelva los siguientes o e sistemas lineales. a) 2x1 − x2 + x3 3x1 + 3x2 + 9x3 3x1 + 3x2 + 5x3 = −1 = = 0 4 b) 1.012x1 −2.132x2 + 3.104x3 −2.132x1 + 4.096x2 − 7.013x3 3.104x1 − 7.013x2 + 0.014x3 = 1.984 = −5.049 = −3.895

c)

d) 2.1756x1 + 4.0231x2 − 2.1732x3 + 5.1967x4 2x1 x1 + 1.5x2 −3x2 + 0.5x3 2x1 − 2x2 + x3 + x4 = = = = 3 4.5 −6.6 0.8 las siguientes matrices   0 1 2 3 c) A = 1 2  1 2 −1 −2 −4.0231x1 + 6.0000x2 6.0235x1 + 7.0000x2 + 1.1973x4 − 4.1561x3 −1.0000x1 − 5.2107x2 + 1.1111x3 = 17.102 = −6.1593 =3.004 = 0.0000

6. Obtenga factorizaciones de la forma A = P t LU para    0 2 3 1 −2 3 3 −6 9 a) A = 1 1 −1 b) A =  2 1 4 0 −1 1 1 −2 2 7. Determine cu´les de las siguientes matrices a definidas positivas.    2 1 0 2 1 a) 0 3 0 c) 0 3 1 0 4 1 2

 −1 3 4

 1 1 d) A =  1 2

 −2 3 0 −2 3 1   −2 2 −2 1 3 −1

son (i) sim´tricas, (ii) singulares, (iii) estrictamentediagonal dominante, (iv) e  0 0 4   6 7 −3  0 0  0 1   −1 0 4 2 2 2 3 4 7 −9  1 2 −1 5  1.5 1 3 7

b)

−2 1

1 −3

d)

2 1

1 3

4 2 0 e)  3 −2 −1  4 0 0 6 7 0 f)  9 11 1 5 4 1

2 g) −1 0  2 −2 h)  3 6

8. Use el algoritmo de Choleski y obtenga una factorizaci´n de la forma A = LLT o      4 2 −1 0 4 1 1 1 1 1 3 −1 1 a) A = −1 2 −1  c) A =  b) A=  −1 1 −1 2 0 0 −1 2 0 1 1 0 2

para las siguientes matrices.   6 2 1 1 −1 0 2 4 1 3 −1 0  d) A =  1 1 4 −1 5 2 −1 0 −1 0 2 4

 −1 0  −1 3

9. Modifique el algoritmo de Choleski para resolver los siguientes sistemas lineales. a) 2x1 − x2 −x1 + 2x2 − x3 −x2 + 2x3 b) 4x1 + x2 + x3 + x4 x1 + 3x2 − x3 + x4 x1 − x2 + 2x3 x1 + x2 + 2x4 = = = = 0.65 0.05 0 0.5  = = 3 1 c) 4x1 +...