FLO Y SUS DOCUMENTOS

SEMANA 1:

L´gica
o
1.1 Introducci´n
o
La l´gica le proporciona a las matem´ticas un lenguaje claro y un m´todo preciso para demostrar
o
a
e
teoremas a partir de axiomas. Por ejemplo:
axiomas de Euclides, definiciones, nociones primarias de geometr´ cl´sica
ıa a
+
l´gica
o
=
teoremas de la geometr´ euclidiana
ıa
Un ejemplo de noci´n primaria es la de punto. Un ejemplo de axiomaes el que dice que por un punto
o
ubicado fuera de una recta L pasa una y s´lo una recta paralela a L.
o
Sin la l´gica los axiomas ser´ un mont´n de verdades aceptadas, pero nada m´s. La l´gica, sin
o
ıan
o
a
o
embargo, les da sentido y permite concluir nueva verdades (teoremas) que antes no conoc´
ıamos. Un
ejemplo de teorema: la suma de los ´ngulos interiores de cualquier tri´ngulosiempre es de 180◦.
a
a
Al ser la l´gica el punto de partida de las matem´ticas, en ella se deben introducir nociones primarias
o
a
tales como proposici´n, valor de verdad, conectivo l´gico.
o
o

1.2 Proposiciones y valor de verdad

´
´
´
Definicion (Proposicion logica) Una proposici´n debe interpretarse como un enunciado que
o
siempre toma uno de los valores de verdad posibles:verdadero (V ) o falso (F ).
Por ejemplo, en el contexto de la aritm´tica, “2+1=5” corresponde efectivamente a una proposici´n.
e
o
M´s a´n, su valor de verdad es F .
a u
T´
ıpicamente notaremos a las proposiciones con letras min´sculas: p, q, r, etc.
u
Algunos ejemplos:
“Estoy estudiando ingenier´
ıa”.
“1≥ 0”.
“Est´ lloviendo en Valdivia”.
a

1.3 Conectivos l´gicos
o
Losconectivos l´gicos sirven para construir nuevas proposiciones a partir de proposiciones ya conocidas.
o
El valor de verdad de la nueva proposici´n depender´ del valor de verdad de las proposiciones que la
o
a
forman. Esta dependencia se explicita a trav´s de una tabla de verdad.
e
1

´
´
Definicion (Negacion) La proposici´n p se lee “no p” y es aquella cuyo valor de verdad es
o
siempredistinto al de p. Por ejemplo, la negaci´n de “mi hermano ya cumpli´ quince a˜ os” es “mi
o
o
n
hermano a´n no cumple quince a˜os”. Esto se explicita a trav´s de la siguiente tabla de verdad.
u
n
e
p
V
F

p
F
V

´
´
´
Definicion (O logico o disyuncion) La proposici´n p ∨ q se lee “p o q”. Decimos que p ∨ q es
o
verdad, o que “se tiene p ∨ q”, cuando al menos una de las dosproposiciones, o bien p o bien q,
es verdadera. Por ejemplo, la proposici´n “ma˜ana llover´ o ma˜ ana no llover´” es verdadera. En
o
n
a
n
a
otras palabras, tal como se aprecia en la siguiente tabla de verdad, si alguien afirma que se tiene
p ∨ q lo que nos est´ diciendo es que nunca son simult´neamente falsas.
a
a
p
V
V
F
F

p∨q
V
V
V
F

q
V
F
V
F

´
´
´
Definicion (Y logicoo conjuncion) La proposici´n p ∧ q se lee “p y q”. Tal como se aprecia
o
en la siguiente tabla de verdad, si alguien afirma que se tiene p ∧ q, lo que nos est´ diciendo es que
a
ambas proposiciones son verdaderas.
p
V
V
F
F

p∧q
V
F
F
F

q
V
F
V
F

´
Definicion (Implicancia) Todos estaremos de acuerdo en considerar verdadera la proposici´n
o
“si el se˜or K est´ enCalifornia entonces el se˜or K est´ en Estados Unidos”. ¿Por qu´?
n
a
n
a
e
Porque a uno no le importa d´nde est´ el se˜or K: podr´ estar en Texas o en China. Lo unico
o
a
n
ıa
´
importante es que, si efectivamente “est´ en Californa”, entonces podemos concluir, con esa sola
a
informaci´n, que “est´ en Estados Unidos”.
o
a
La proposici´n p ⇒ q se lee “p implica q” o “si p entonces q”.Para estudiar su valor de verdad nos
o
debemos concentrar en el caso de que la hip´tesis p sea verdadera. Ah´ tenemos que determinar si
o
ı
basta con esa informaci´n para concluir que q es verdadera. En resumen: si alguien afirma que se
o
tiene p ⇒ q, debemos concluir que si p es verdad entonces necesariamente q ser´ verdad. Todo
a
esto se explicita a trav´s de la siguiente tabla.
e
p
V...