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Qué es una ecuación?.
Es una igualdad algebraica que se verifica para ciertos valores de la variable.
Ejemplo
Con otras palabras: 
Es una igualdad en las que aparecen números y letras 
(llamadas incógnitas o variables) 
relacionados mediante operaciones matemáticas.
La incógnita de una ecuación es la letra con valor desconocido.
El grado de una ecuación es el mayor exponente con quefigura la incógnita en la ecuación una vez realizadas todas las operaciones.
Cuando la ecuación sólo contiene una letra le llamamos ecuaciones con una incógnita. 
(Habitualmente, la x, pero no necesariamente). 
Decimos que las ecuaciones son de primer grado cuando dicha letra no está elevada a ninguna
potencia (el exponente es 1 y puede omitirse). 
Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitasMétodo de sustitución
1 Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones.
2 Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo un ecuación con una sola incógnita.
3 Se resuelve la ecuación.
4 El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada.
5 Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.
Ejemplo1 Despejamos una de las incógnitas en una de las dos ecuaciones. Elegimos la incógnita que tenga el coeficiente más bajo.

2 Sustituimos en la otra ecuación la variable x, por el valor anterior:

3 Resolvemos la ecuación obtenida:

4 Sustituimos el valor obtenido en la variable despejada.

5 Solución



Método de igualación
1 Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.
2 Se igualan lasexpresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una incógnita.
3 Se resuelve la ecuación.
4 El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecía despejada la otra incógnita.
5 Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.
Ejemplo

1 Despejamos, por ejemplo, la incógnita x de la primera y segunda ecuación:


2 Igualamos ambas expresiones:3 Resolvemos la ecuación:


4 Sustituimos el valor de y, en una de las dos expresiones en las que tenemos despejada la x:

5 Solución:



Método de reducción
1 Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los números que convenga.
2 La restamos, y desaparece una de las incógnitas.
3 Se resuelve la ecuación resultante.
4 El valor obtenido se sustituye en una de las ecuacionesiniciales y se resuelve.
5 Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.


Ejemplo

Lo más fácil es suprimir la y, de este modo no tendríamos que preparar las ecuaciones; pero vamos a optar por suprimir la x, para que veamos mejor el proceso.

Restamos y resolvemos la ecuación:

Sustituimos el valor de y en la segunda ecuación inicial.

Solución:



Sistemas detres ecuaciones con tres incógnitas
Método de Gauss
Este método consiste en utilizar el método de reducción de manera que en cada ecuación tengamos una incógnita menos que en la ecuación precedente.
1º Ponemos como primera ecuación la que tenga el como coeficiente de x: 1 ó -1, en caso de que no fuera posible lo haremos con y o z, cambiando el orden de las incógnitas.
2º Hacemos reducción con la1ª y 2ª ecuación, para eliminar el término en x de la 2ª ecuación. Después ponemos como segunda ecuación el resultado de la operación:
3º Hacemos lo mismo con la ecuación 1ª y 3ª ecuación, para eliminar el término en x.
4º Tomamos las ecuaciones 2ª y 3ª, trasformadas, para hacer reducción y eliminar el término en y.
5º Obtenemos el sistema equivalente escalonado.
6º Encontrar las soluciones.Ejemplo

1º Ponemos como primera ecuación la que tenga el como coeficiente de x: 1 ó -1, en caso de que no fuera posible lo haremos con y o z, cambiando el orden de las incógnitas.

2º Hacemos reducción con la 1ª y 2ª ecuación, para eliminar el término en x de la 2ª ecuación. Después ponemos como segunda ecuación el resultado de la operación:
E'2 = E2 − 3E1

3º Hacemos lo mismo...