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UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID
DEPARTAMENTO DE MECÁNICA DE MEDIOS CONTINUOS
Y TEORÍA DE ESTRUCTURAS

INGENIERÍA INDUSTRIAL
3º Curso

ELASTICIDAD Y RESISTENCIA DE MATERIALES II
CURSO 2004/2005

FORMULARIO BÁSICO

MICROMECÁNICA
Densidad de una lámina unidireccional
ρ = Vf ⋅ ρ f + Vm ⋅ ρ m

Constantes elásticas de una lámina unidireccional
1.1. - Módulo de elasticidad endirección de las fibras
E1 = Vf ⋅ E f + [1 − Vf ] ⋅ E m

Módulo de elasticidad en dirección transversal a las fibras
- Fórmula básica
Em ⋅ Ef
E2 =
Vf ⋅ E m + (1 − Vf ) ⋅ E f
- Efecto de concentración de tensiones
E ' m ⋅E f
,
E2 =
Vf ⋅ E ' m +(1 − Vf ) ⋅ E f

E'm =

Em
1 −ν m

2

- Ecuación de Halpin-Tsai
1 + ξ 1 ⋅ η1 ⋅ V f
Ef − Em
E2 = Em ⋅
, η1 =
E f + ξ1 ⋅ E m
1 − η1 ⋅ V f
ξ1≡ Eficiencia del refuerzo
( parámetro experimental)
1 ≤ ξ1 ≤ 2

- Coeficiente de Poisson principal
ν 21 = Vf ⋅ ν f + (1 − Vf ) ⋅ ν m

Módulo de elasticidad a cortadura plana
G 12 =

Gm ⋅ Gf
Vf ⋅ G m + (1 − Vf ) ⋅ G f

Constantes elásticas de una lámina de fibras largas con
orientación aleatoria
1.2.

Módulo de elasticidad
3
5
E = ⋅ E1 + ⋅ E 2
8
8

Módulo de elasticidad acortadura plana
1
1
G = ⋅ E1 + ⋅ E 2
8
4

2

Constantes elásticas de una lámina de fibras cortas alineadas
1.3.

Módulo de elasticidad en dirección de la fibra

- Fórmula básica
E 1 = η L ⋅ E f ⋅ Vf + E m ⋅ (1 − Vf )
⎛1
⎞
tanh⎜ ⋅ β ⋅ L ⎟
⎝2
⎠
ηL = 1 −
⎛1
⎞
⎜ ⋅ β ⋅ L⎟
⎝2
⎠

⎛
⎞
⎜
⎟
2 ⋅ Gm
⎜
⎟
β=
⎜
⎛R ⎞⎟
⎜ E f ⋅ r 2 ⋅ ln⎜ ⎟ ⎟
⎝ r ⎠⎠
⎝
-

2

Ecuación deHalpin-Tsai

E1 =

ξ=

1

L
r

ηL =

E m ⋅ (1 + ξ ⋅ η L ⋅ Vf
1 - η ⋅ Vf

)

Ef − Em
Ef + ξ ⋅ Em

Constantes elásticas de una lámina de fibras cortas con
orientación aleatoria
Módulo de elasticidad
E = η o ⋅ η L ⋅ E f ⋅ Vf + E m ⋅ (1 − Vf )

ηo= 1(lámina unidireccional, fibras a 0º)
ηo= 0(lámina unidireccional, fibras a 90º)
ηo= 3/8 (distribución aleatoria de fibras en 2D)ηo= 1/5 (distribución aleatoria de fibras en 3D)

3

Constantes elásticas de un material reforzado por partículas
1.1.

Módulo de elasticidad
2

Vf

E=

1
3

1 − Vf
1.2.

⋅ Em

2 ⎞
⎛
+ ⎜⎜1 − V 3 ⎟⎟ ⋅ E m
f
⎛ E ⎞ ⎝
⎠
⋅ ⎜1 − m ⎟
⎜
E p ⎟⎠
⎝

3

Módulo de elasticidad a cortadura
2

Vf

G=

1
3

1 − Vf

⋅ Gm

2 ⎞
⎛
+ ⎜⎜1 − V 3 ⎟⎟ ⋅ G m
f
⎛ G ⎞ ⎝⎠
⋅ ⎜1 − m ⎟
⎜
G p ⎟⎠
⎝

3

Resistencia a tracción en dirección de las fibras de una lámina
unidireccional
ε < εr

1.1. CASO 1: r f
− V f < V f crítico

m

X = σ rm ⋅ (1 − V f )

−

V f > V fcrítico

X = σ r f ⋅ V f + Em ⋅ ε r f ⋅ (1 − V f )

CASO 2: ε rm < ε rf

−

V f < V f crítico

−

V f > V fcrítico

X = E f ⋅ ε rm ⋅ V f + σ rm ⋅ (1 − V f )
X = σ rf ⋅V fResistencia a compresión en dirección de las fibras de una
lámina unidireccional.
1.1.

Modo de curvado en extensión o desfasado (para Vf bajos)

X' = 2 ⋅ Vf ⋅

Vf ⋅ E m ⋅ E f
3 ⋅ (1 − Vf )

Modo de curvado en cortadura o en fase (para Vf altos)
X' =

Gm
1 − Vf

4

Modelo de Ewins y Hamm para el modo de fallo por cortadura
(para Vf altos)

(

X' = 2 ⋅ Vf ⋅ τrf + (1 − Vf ) ⋅τrm

)

Resistencia mecánica a tracción en dirección perpendicular a
las fibras
1.1.

CASO 1. Unión fibra-matriz débil.

⎛
Vf ⎞
⎟ (para una ordenación de fibras cuadrada)
Y = σ rm ⋅ ⎜⎜1 − 2 ⋅
π ⎟⎠
⎝
CASO 2. Unión fibra-matriz fuerte.

(

)

1
⋅ σ rm − σ rmax
Kσ
(1 − ν m )
1
Y=
⋅
⋅ σ rm − E m ⋅ ε rmax
K σ (1 + ν m ) ⋅ (1 − 2 ⋅ ν m )

Y=

(

(criterio de tensiónmáxima)

)

(criterio
máxima)

5

de

deformación

MACROMECÁNICA DE LA LÁMINA
1. Matriz de rigidez de una lámina unidireccional en ejes
locales
⎡Q11 Q12
[Q] = ⎢⎢Q12 Q22
⎢⎣ 0
0

E1
⎡
⎢1 − ν ⋅ν
12
21
0 ⎤ ⎢
ν
E
⋅
⎥
0 ⎥ = ⎢ 12 1
⎢1 − ν 12 ⋅ν 21
QSS ⎥⎦ ⎢
0
⎢
⎣

ν 21 ⋅ E2
1 − ν 12 ⋅ν 21

⎤
0 ⎥
⎥
0 ⎥
⎥
G12 ⎥
⎥
⎦

E2

1 − ν 12 ⋅ν 21
0

Matriz de...