FORMULARIOEstadistica II 212136

Formulario 1
Situación

Parámetro

Estimado
r puntual

m.a. (n) de una
población
N(µ, σ2) ;
σ2 conocido

µ

X

Distribución muestral
Estadístico

Z=

x -µ
∼ N(0 , 1)
σ/ n

IC

x ± z1-α/2 ·

σ
n

2

m.a.(n) de una
población
N(µ, σ2)

m.a.(n) de una
población
N(µ, σ2) ;
2
σ desconocido

σ2

S2
(corregido)

(n − 1)S
∼ χ2(n-1)
2
σ
es una distribución
aproximada de S2
(corregido)
Asimetría positivaT=
µ

X

i = 1,2, .. ,n

µ= p y
σ2 = pq

Z=
p

⌢
p

pˆ - p
pq
n

∼ N(0 , 1);

cuando n es grande

(n-1)s2 
2

χ(n-1;α/2)


,

x ± t (n-1;1-α/2) ·

Simétrica respecto a la
media “0”

m.a. (n) de una
población
Bernoulli

1 ; Éxito
xi = 
0 ;Fracaso

x -µ
∼ t(n - 1)
S/ n

 (n-1)s2

 χ2
 (n-1;1-α/2)

pˆ ± z1-α/2 ·

s
n

pˆqˆ
n

Tamaño de muestra
aleatoria simple.
Población Normal

 z ·σ n =  1-α/2 
 e 

2

Tamaño de muestra
aleatoria simple.
Población Bernoulli

 z · pq 
n =  1-α/2


e



2

Situación
Y1 v.a. ∼ N( µ1 ,

σ ) , Y2 v.a. ∼ N( µ2 , σ
2
1

Parámetro

Estimador
puntual

Distribución muestral
Estadístico

σ12 , σ 22 conocidas
( y11, y12 ,..., y1n ) m.a.(n1) de Y1
1

Z=

v.a.i ;

( y 21,

IC

2
2)

µ1 − µ 2

Y1 -Y2

µ1 − µ 2

Y1 -Y2

(Y1 -Y2 ) - (µ1 − µ 2 )(y1 − y 2 ) ± z1-α/2 ·

σ12 σ 22
+
n1 n 2

y 22 ,..., y 2n2 ) m.a.(n2) de Y2

σ12 σ 22
+
n1 n 2

m.a.i.
Y1 v.a. ∼ N( µ1 ,

σ ) , Y2 v.a. ∼ N( µ2 , σ 22 )
2
1

σ12 = σ 22 desconocidas
( y11, y12 ,..., y1n ) m.a.(n1) de Y1
1
v.a.i ;

( y 21,

T=

(Y1 -Y2 ) - (µ1 − µ2 )

y 22 ,..., y 2n2 ) m.a.(n2) de Y2

1 1
S2p  + 
 n1 n2 

∼ t(n1 + n2 – 2)

1 1
(y1 − y2 ) ± t (n1 +n2 -2;1-α/2· s2p  + 
n1 n2 

m.a.i.
Y1 v.a. ∼ N( µ1 ,

σ ) , Y2 v.a. ∼ N( µ2 , σ 22 )
2
1

σ12 ≠ σ 22 desconocidas
( y11, y12 ,..., y1n ) m.a.(n1) de Y1
1

T=

v.a.i ;

( y 21,

µ1 − µ 2

Y1 -Y2

y 22 ,..., y 2n2 ) m.a.(n2) de Y2

(Y1 -Y2 ) - (µ1 − µ 2 )
2
1

2
2

S S
+
n1 n 2

∼ t(gl )
*

m.a.i.
2

 s12 s 22 
 + 
 n1 n 2 
*
g.l. =
2
2
2
s1 /n1
s 22 /n 2
+
n1 − 1
n2 −1

(

) (

)

(n1 − 1)s12 + (n 2 − 1)s22
s =
n1 + n 2 − 2
2
p

s12 s 22
(y1 − y 2 ) ± t (g.l. * ;1- α/2 ·
+
n1 n 2

Situación
Y1 v.a. ∼

Y2 v.a. ∼ B(1,
v.a.i ;
y1n ) m.a.(n1) de Y1

B(1, p1) ,

( y11,

y12 ,...,

( y 21,

y 22 ,..., y 2n2 ) m.a.(n2) de Y2

Parámetro

Estimador
puntual

p2)

1

Distribución muestral
Estadístico

Z=

p1 - p2

pˆ 1 - pˆ 2

(pˆ 1- pˆ 2 ) - (p1 - p2 )
∼ N(0,1)
pˆ 1qˆ 1
pˆ 2qˆ 2
+
n1
n2

IC

(pˆ 1 − pˆ 2 ) ±z 1-α/2 ·

pˆ 1qˆ 1 pˆ 2 qˆ 2
+
n1
n2

m.a.i.
m.a. pareada (n)
de ∼ Normal

µ 1 − µ 2 = µD

Y1 -Y2 = D

σ12
σ 22

S12
S22

T =

D - µD
∼ t(n - 1)
SD / n

Di = Y1i – Y2i
Y1 v.a. ∼ N( µ1 ,

σ12 ) , Y2 v.a. ∼ N( µ2 , σ 22 )
v.a.i
y1n ) m.a.(n1) de Y1

( y11,

y12 ,...,

( y 21,

y 22 ,..., y 2n2 ) m.a.(n2) de Y2

1

m.a.i.

S2 ·σ 2
F = 12 22 ∼ F(n1-1,n2-1)
S2 ·σ1

d ± t (n -1;1

- α/2

·

sd
n

s12

1
s12
1
·
,
·
 2

s22 F(n1 − 1, n2 − 1; α/2) 
 s2 F(n1 − 1, n2 − 1; 1-α/2)

Test de Hipótesis
Situación
X v.a. ∼ N(µ , σ2)
σ2 conocido
(x1, x2 , ..., xn) m.a.(n) de X

X v.a. ∼ N(µ , σ )
(x1, x2 , ..., xn) m.a.(n) de X
2

Hipótesis
Nula

Hipótesis
Alternativa

1) H0: µ = µ0

1) H1: µ ≠ µ0

2) H0: µ < µ0

2) H1: µ > µ0

3) H0: µ > µ0

3) H1: µ < µ0

1) H0: σ = σ 0

2

1) H1: σ ≠ σ 0

2)H0: σ < σ 0

2

2) H1: σ > σ 0

3) H0: σ > σ 0

2

3) H1: σ < σ 0

1) H0: µ = µ0

1) H1: µ ≠ µ0

2) H0: µ < µ0

2) H1: µ > µ0

2
2
2

X v.a. ∼ N(µ , σ2)
σ2 desconocido
(x1, x2 , ..., xn) m.a.(n) de X

2

2
2

Estadístico de prueba
bajo H0

x - µ0

Z=

σ/ n

∼ N(0 , 1)

χ2 =

2

(n − 1)S2
∼ χ2(n-1)
2
σ0

2) { χ

2
< χα/2
∨ χ2 > χ12−α/2 }

2

> χ12−α }

2

< χα2 }

{T < -t1-α/2 ∨ T >
2) {T > t1-α }1)

T=

x - µ0
S/ n

∼ t(n - 1)

3) {

3) H1: µ < µ0

1) H0: p = p0

1) H1: p ≠ p0

1 ; Éxito
xi = 
0 ;Fracaso

2) H0: p < p0

2) H1: p > p0

p0q 0
n

i = 1,2, .. ,n

3) H0: p > p0

3) H1: p < p0

n grande

Z=

pˆ - p 0

∼ N(0 , 1)

t1-α/2 }

T < t1-α }

{Z < -z1-α/2 ∨ Z >
2) {Z > z1-α }
3) { Z < -z1-α }
1)

z1-α/2 }

2

1) { χ

3) { χ

3) H0: µ > µ0

X v.a. ∼ B(1, p)
(x1, x2 , ..., xn)...