Formulas de derivacion
Páginas: 2 (282 palabras)
Publicado: 23 de mayo de 2011
Fórmulas de derivación (II): la regla de la cadena
Lo diremos de una vez, si f ( x ) es una función que admite derivada entonces su derivada f ' ( x ) tambiénse denota por
y esta notación proviene del siguiente hecho, para un x muy pequeño sabemos que
de manera que df está asociado al valor de f = f (x + x )- f ( x ) para un x pequeñísimo.
El siguiente teorema es usado con frecuencia y nos abre un amplio espectro para el cálculo de derivadas de funciones máscomplejas. Suponga que tenemos la siguiente función
Observemos que g( x ) es la composición de dos funciones, a saber de la función "raíz cuadrada", esto es dey de la función x2 + 1. El paso de transformación es como sigue
Lo interesante es que conocemos "aisladamente" la derivada de ambas funciones. En efectoSi conocemos las derivadas de las funciones que conforman la función compuesta, en este caso , ¿es posible conocer la derivada de ésta? La respuesta esafirmativa y la da el siguiente teorema.
Teorema. Si tenemos una función h( x ) que es la composición de dos funciones, esto es h ( x ) = f ( g ( x ) ), de tal forma quef ( u ) es derivable en el punto u = g ( x ), y además g ( x ) es derivable en el punto x. Entonces, la derivada de g(x) en el punto x está dada por
Nota: Nonos debe llevar a confusión la notación. Si aplicamos esta fórmula al ejemplo con el que inciamos esta sección tenemos que
Demostración: Formaremos elcociente de Newton para la función compuesta h( x ), esto es
Luego haciendo t 0, obtenemos el resultado, esto es
Ejemplo. Derivar la función . La solución es
Lo diremos de una vez, si f ( x ) es una función que admite derivada entonces su derivada f ' ( x ) tambiénse denota por
y esta notación proviene del siguiente hecho, para un x muy pequeño sabemos que
de manera que df está asociado al valor de f = f (x + x )- f ( x ) para un x pequeñísimo.
El siguiente teorema es usado con frecuencia y nos abre un amplio espectro para el cálculo de derivadas de funciones máscomplejas. Suponga que tenemos la siguiente función
Observemos que g( x ) es la composición de dos funciones, a saber de la función "raíz cuadrada", esto es dey de la función x2 + 1. El paso de transformación es como sigue
Lo interesante es que conocemos "aisladamente" la derivada de ambas funciones. En efectoSi conocemos las derivadas de las funciones que conforman la función compuesta, en este caso , ¿es posible conocer la derivada de ésta? La respuesta esafirmativa y la da el siguiente teorema.
Teorema. Si tenemos una función h( x ) que es la composición de dos funciones, esto es h ( x ) = f ( g ( x ) ), de tal forma quef ( u ) es derivable en el punto u = g ( x ), y además g ( x ) es derivable en el punto x. Entonces, la derivada de g(x) en el punto x está dada por
Nota: Nonos debe llevar a confusión la notación. Si aplicamos esta fórmula al ejemplo con el que inciamos esta sección tenemos que
Demostración: Formaremos elcociente de Newton para la función compuesta h( x ), esto es
Luego haciendo t 0, obtenemos el resultado, esto es
Ejemplo. Derivar la función . La solución es
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