Formulas De Transformada De Place

CAP´ ITULO 6
atem

TRANSFORMADA DE LAPLACE
o. d
∞ 0 b→∞

si el l´ ımite existe.

Demostraci´n: veamos que la siguiente integral existe, en efecto: o |£{f (t)}(s)| = =
∞ 0 ∞ 0

Un iv

Teorema 6.1. Si f (t) es una funci´n continua a tramos para t ≥ 0 y adem´s |f (t)| ≤ M ect o a para todo t ≥ T , donde M es constante , c > 0 constante y T > 0 constante, entonces £{f (t)}(s) existepara s > c.

ersi

dad

de

e

−st

An

=

l´ ım

f (t)dt ≤

e−st |f (t)|dt, 211

tioq

£{f (t)}(s) = F (s) =

e−st f (t)dt
b

0

∞ 0

sabiendo que e−st > 0

uia

|e−st ||f (t)|dt

,D

Definici´n 6.1. Sea f (t) una funci´n definida para todo t ≥ 0; se define la o o Transformada de Laplace de f (t) as´ ı:

e−st f (t)dt,

ept

6.1.

INTRODUCCION

eMatic

as

212

CAP´ ITULO 6. TRANSFORMADA DE LAPLACE
T ∞ T

=
0

e−st |f (t)|dt + I1

e−st |f (t)|dt I2

T

I1 =
0

e−st |f (t)|dt existe, ya que f es continua a tramos
∞

I2 =
T

e

−st

|f (t)| dt ≤
≤ M ect
∞

∞ T

e

−st

M e dt = M
T

ct

∞

e(−s+c)t dt

Luego, £{f (t)}(s) existe, si s > c.

tioq

uia

M ect , (c > 0) • (0, M ) • T

,Df (t)

dad

de

An

t

b) Si f (t) es de orden exponencial, es decir, |f (t)| ≤ M ect para t ≥ T y c, M constantes, entonces
t→∞

l´ e−st f (t) = 0, s > c ım

Un iv

Figura 6.1

ersi

ept

NOTA: a) cuando f (t) ≤ |f (t)| ≤ M ect para t ≥ T , entonces decimos que f (t) es de orden exponencial (ver figura 6.1).

o. d

f (t)

eM

M e−(s−c)t , suponiendo que s − c > 0 =−(s − c) T M M −(s−c)T = − (0 − e−(s−c)T ) = e s−c s−c

atem

atic

as

6.1. INTRODUCCION

213

En efecto, como |f (t)| ≤ M ect , entonces |e−st f (t)| ≤ M e−(s−c)t y como l´ t→∞ e−(s−c)t = 0, si s > c, entonces por el teorema de estricci´n en l´ ım o ımites, se concluye que l´ |e−st f (t)| = 0, s > c, ım
t→∞

luego
t→∞

l´ e−st f (t) = 0, s > c ım

Observaci´n: £ es unoperador lineal, en efecto o

0

= = Teorema 6.2. 1). £{1}(s) = 2). £{tn }(s) = 3). £{eat }(s) =
1 s

α
0

e−st f (t) dt + β
0

Demostraci´n: 1). Si s > 0 se tiene que o £{1}(s) =
0 ∞

Un iv

ersi

8). £{tn eat }(s) =

n! (s−a)n+1

,

s > a, n = 1, 2, . . .

dad

7). £{cosh kt}(s) =

s s2 −k2

,

s > |k|

de

6). £{ senh kt}(s) =

k s2 −k2

,

s > |k|

An5). £{cos kt}(s) =

s s2 +k2

,

s>0

tioq

4). £{ sen kt}(s) =

k s2 +k2

,

s>0

uia

1 s−a

,

para s > a

,D

n! sn+1

,

s > 0, n = 1, 2, . . .

ept
∞ 0

, s > 0,

£{k}(s) =

k s

, s > 0,

e−st 1 dt =

e−st −s

2). Hagamos la demostraci´n por el m´todo de inducci´n. Para ello, suponemos o e o

o. d
= 1 s

k constante.

eM

α£{f(t)}(s) + β£{g(t)}(s)

atem

∞

∞

e−st g(t) dt

atic

£{αf (t) + βg(t)}(s)

def.

=

∞

e−st (αf (t) + βg(t)) dt

as

214

CAP´ ITULO 6. TRANSFORMADA DE LAPLACE
n

que s > 0 y utilizamos el siguiente limite: l´ | ect | = 0, n = 1, 2, . . . ım t
t→∞

n = 1 : £{t}(s) =
0

∞

e−st t dt,
∞ 0

hagamos 1 s
∞ 0

= −

te−st s

u=t ⇒ du = dt −st dv = e dt ⇒ v= − 1 e−st s

+

e−st dt

0

0

0

0

tioq

£{tn−1 }(s) n n = −(0 − 0) + £{tn−1 }(s) = £{tn−1 }(s) s s

£{tn }(s) =

n! n (n − 1)! = n+1 n s s s

4). Por el m´todo de los operadores inversos, tenemos: e £{ sen kt}(s) = =
∞ 0

Un iv

e−st ( sen kt) dt
∞ 0

ersi

dad

de

An

Pero por la hip´tesis de inducci´n £{tn−1 }(s) = o o

uia

,D

ept
(n−1)! , sn= −

tn e−st s

∞

+

n s

∞

e−st tn−1 dt

o. d

£{tn }(s) =

∞

e−st tn dt hagamos

u = tn ⇒ du = ntn−1 dt −st dv = e dt ⇒ v = − 1 e−st s

eM

Supongamos que se cumple para n − 1 y veamos que se cumple para n. En efecto:

luego:

atem

atic
∞ 0 ∞ 0

1 −st e sen kt D
∞ 0

=e

−st

1 sen kt D−s

= e−st

D+s sen kt D 2 − s2

= e−st

D+s sen kt...