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DERIVADAS


Introducción

Recordamos de Análisis I.

Definición


Sea f:[pic]con A( R, y sea x0 interior a A












Resulta:




Como una derivada es un límite pueden darse una de estas tres situaciones: que sea un número, que sea infinito o que no exista.

Definición:
f es derivable en xo si y sólo si existe y es finito el límite para [pic] de [pic]Interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto














Entonces, si la recta secante tiende a la recta tangente, y el cociente incremental tiende a la derivada, resulta que:

La derivada de una función en x0 representa , si existe y es finita, la pendiente de la recta tangente a C en Po.


• Derivada de función vectorial

Consideremos [pic]A( Rn conA ( R ( n ( 2 , y t0 pto. interior de A

I.1.-Definición:

Se llama vector derivado de [pic] en t0 al límite, si existe de:[pic] , cuando (t ( 0. Se indica [pic].
Resulta: [pic]= [pic] [pic]


Teorema:

[pic](t)= (f1(t);f2(t);.....;fn(t)) es derivable en t0 ( fi (t) es derivable en t0, (i({1,...,n}

Demostración:



[pic](t) derivable en t0 ( ( [pic] [pic] (
( [pic][pic] (( [pic][pic] (
( [pic] (

( [pic] = f1’(t0) ( ........( ( [pic]=fn’(t0)


Recta tangente y plano normal a una curva en R3
Consideramos [pic]A( Rn continua ,con A ( R ( n = 3. La representación gráfica del conjunto imagen es una curva en R3





























Consideremos los puntos P y P0 definidos por y por ;elvector tiene el módulo y la dirección de la cuerda PP0 .
Al dividir por (t y tomar el límite para (t(0, el vector derivado, si existe, tendrá la dirección límite de la de una cuerda cuyo extremo tiende a coincidir con el punto inicial , es decir tendrá la dirección tangente a la curva en P0 .
Resulta que la recta tangente a la curva representativa de la imagen de[pic] en P0 , es la recta que tiene la dirección de [pic] y a la que pertenece P0.

t P0 ( [pic] (ec. vectorial de la recta tg.)

o bien ,si fi’(t0)(0,(i({1,2,3} :
[pic][pic] (ecs. simétricas de la recta tangente)

Si llamamos (N al plano perpendicular a la recta tangente en P0, es decir al plano normal a la curva asociada a la imagen de [pic], resulta que la ecuación vectorial de (Nes:
[pic]
y la ecuación cartesiana:

f 1’(to).(x- f1(to)) + f 2’(to).(y- f2(to)) + f 3’(to).(z- f3(to)) =0







• Puntos regulares y singulares de una curva. Curvas regulares y lisas.
Un punto[pic]es un punto regular de C si y sólo si existe la recta tangente a C en [pic]. Para ello debe existir una función vectorial [pic][a,b] ( Rn con n ( 2,continua / [pic](t)= (f1(t);f2(t);.....;fn(t)) siendo C la curva asociada a su imagen, tal que exista y no sea nulo el vector derivado [pic]‘ (to) con
[pic]= [pic](t0). Los puntos de C que no son regulares se llaman puntos singulares .
Toda curva admite distintas parametrizaciones, puede ocurrir que en alguna de ellas el vector derivado sea nulo, pero que no lo sea para otra.
Si [pic] esinyectiva en [a,b], la curva es simple.
Si (t([a,b] es [pic]’ (t) continua y distinta del vector nulo, entonces la curva
C asociada al conjunto imagen de [pic] es lisa.


• Derivación de campos escalares


Campos escalares de dos variables



INCREMENTO PARCIAL Y TOTAL


Sea F: A(R, con A( R2 / z = F(x;y) y sea [pic]=(a;b) interior a A
Se llama incremento parcial de "F "debido a "x" (se escribe: [pic]) al incremento que experimenta la función cuando se provoca una variación "h" ó “[pic]” de la variable "x" y se mantiene constante la variable "y".
Es decir: [pic]= F(a + h ; b) - F(a;b)= F(a + [pic]; b) - F(a;b)

Gráficamente significa cortar la superficie representativa de z=F(x;y), con el plano y = b y medir la variación de la función sobre la curva...