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TEOREMA DE STOKES.

10. Usar el teorema de Stokes para calcular la integral de l´
ınea
(y 2 − z 2 ) dx + (z 2 − x2 ) dy + (x2 − y 2 ) dz,
C

donde C es la curva intersecci´n de la superficie del cubo 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ a,
o
0 ≤ z ≤ a y el plano x + y + z = 3a/2, recorrida en sentido positivo.

Soluci´n
o
La curva dada tiene la forma del hex´gono de la figura adjunta.
a
z

a
D

ya
x
Para aplicar el teorema de Stokes, calculamos en primer lugar el rotacional del campo
vectorial:
rot F =

i
∂/∂x
y2 − z2

j
∂/∂y
z 2 − x2

k
∂/∂z
x2 − y 2

= (−2y − 2z, −2z − 2x, −2x − 2y).

Si llamamos S a la superficie interior de dicho hex´gono y D a la proyecci´n de S sobre
a
o
el plano XY , la superficie S viene parametrizada por la f´rmula expl´
o
ıcita z =3a/2 −
→
x − y, con (x, y) ∈ D. De este modo, el vector normal exterior a la superficie es − =
n
(−∂z/∂x, −∂z/∂y, 1) = (1, 1, 1).
Al aplicar el teorema de Stokes, resulta:
I

−− −
−→
rot F · → dS
n

=
S

(−2y − 2z, −2z − 2x, −2x − 2y) · (1, 1, 1) dxdy

=
D

−6a dxdy = −6a · ´rea (D) = −6a(a2 − a2 /4) = −9a3 /2.
a

=
D

1

→
−
11. Hallar el trabajo realizado por el campovectorial F (x, y, z) = (y + z, 2 + x, x + y) a lo
largo del arco m´s corto de la circunferencia mayor de la esfera x2 + y 2 + z 2 = 25 que
a
une los puntos A = (3, 4, 0) y B = (0, 0, 5).

Soluci´n
o
La trayectoria descrita por el m´vil es la ilustrada en la figura adjunta.
o

z
B
C
O
y
x

A

Dicha curva est´ contenida en la intersecci´n de la esfera x2 + y 2 + z 2 = 25 con elplano
a
o
y = 4x/3. Si escribimos las ecuaciones de la curva como
x2 + 16x2 /9 + z 2 = 25
y = 4x/3

C:

o bien


 x = 3 cos t
y = 4 cos t
podemos parametrizarla como C :

z = 5 sen t

x2 /9 + z 2 /25 = 1
y = 4x/3,

, 0 ≤ t ≤ π/2.

As´ pues, el trabajo realizado se calcula mediante la f´rmula
ı
o
W

→
−
F ds

=

C
π/2

(4 cos t + 5 sen t, 2 + 3 cos t, 7 cos t)· (−3 sen t, −4 sen t, 5 cos t) dt

=
0
π/2

(−24 sen t cos t − 15 sen2 t − 8 sen t + 35 cos2 t) dt = 5π − 20.

=
0

Si queremos calcular la integral aplicando el teorema de Stokes, la trayectoria debe ser
cerrada. Esto se consigue completando el circuito con los segmentos de recta BO y OA. De
2

este modo, si llamamos S a la superficie limitada por dicho circuito, el teorema deStokes
afirma que
→
−
→
−
→
−
F +
F +
F =
rot F.
C

Por un lado, rot F =

BO

i
∂/∂x
y+z

OA

j
k
∂/∂y ∂/∂z
2+x x+y

S

= (1, 0, 0).

Una parametrizaci´n de la superficie S se obtiene escribiendo las coordenadas esf´ricas de
o
e
un punto de la superficie y teniendo en cuenta que los puntos de S est´n en el plano 4x = 3y.
a
De este modo,

 x = (3/5)u sen v
y =(4/5)u sen v
S:
, 0 ≤ u ≤ 5, 0 ≤ v ≤ π/2.

z = u cos v
El vector normal a la superficie es
Tu × Tv

= ((3/5) sen v, (4/5) sen v, cos v) × ((3/5)u cos v, (4/5)u cos v, −u sen v)
= (−(4/5)u, (3/5)u, 0).

Elegimos como vector normal el correspondiente a la cara exterior de la superficie, con
→
respecto al sentido del recorrido de la curva C, es decir − = (4u/5, −3u/5, 0). As´ pues,
n
ı5

(1, 0, 0) · (4u/5, −3u/5, 0) dudv =

rot F =
S

D

π/2

du
0

0

4
u dv = 5π.
5

Por otra parte, el segmento BO tiene como vector de posici´n − (t) = (0, 0, 5 − t), con
o →
r
0 ≤ t ≤ 5. Entonces,
5

→
−
F =

5

F (r(t)) · r (t) dt =

BO

0

(5 − t, 0, 0) · (0, 0, −1) dt = 0.
0

Por ultimo, el segmento OA se parametriza por r(t) = (t, 4t/3, 0), con 0 ≤ t≤ 3. De este
´
modo,
3

→
−
F =

F (r(t)) · r (t) dt

OA

0
3

3

(4t/3, 2 + t, 7t/3) · (1, 4/3, 0) dt =

=
0

(8t/3 + 8/3) dt = 20.
0

En definitiva, de la igualdad
→
−
F +

→
−
F +
BO

C

→
−
F =
OA

rot F,
S

deducimos (como era de esperar) que
→
−
F =−
C

→
−
F −
BO

→
−
F +
OA

3

rot F = 5π − 20.
S

→
12. Hallar la...