funciones convexas

Escuela Polit´
ecnica Nacional
Teor´ıa de la Medida
Funciones Convexas
Mateo Larco
1 de julio de 2015
Una funci´
on ϕ en un intervalo abierto (a, b) se dice convexa si para cada x,y ∈ (a, b) y cada λ
tal que, 0 ≤ λ ≤ 1 tenemos que:
ϕ(λx + (1 − λ)y) ≤ λϕ(x) + (1 − λ)ϕ(y)
Si observamos el gr´
afico de ϕ en R2 , esta condici´on puede ser reformulada geom´etricamente diciendo
que cada punto de lacuerda entre (x, ϕ(x)) y (y, ϕ(y)) est´a por encima del gr´afico de ϕ.
Lema 1. Si ϕ es convexa en (a, b) y si x, y, x , y son puntos de (a, b) con x ≤ x < y y x < y ≤ y
entonces la cuerda sobre (x, y) tiene una mayor pendiente que la cuerda sobre (x , y ); esto es,
ϕ(y ) − ϕ(x )
ϕ(y) − ϕ(x)
≤
y−x
y −x
Demostraci´
on. Como x ∈ (x, y ) Podemos escribir x = λx + (1 − λ)y con λ ∈ [0, 1] , tomando
−x
y
1− λ = xy −x
aplicando la definici´on de convexidad tenemos que:
λ = yy −x
−x
ϕ(x ) ≤

y −x
x −x
ϕ(x) +
ϕ(y )
y −x
y −x

(1)

De donde podemos reescribir como:
ϕ(x ) − ϕ(x)
ϕ(y ) − ϕ(x)
≤
x −x
y −x
Luego, tambi´en podemos escribir (1) como:
ϕ(y ) − ϕ(x)
ϕ(y ) − ϕ(x )
≤
y −x
y −x
y entonces
ϕ(y ) − ϕ(x)
ϕ(y ) − ϕ(x )
ϕ(x ) − ϕ(x)
≤
≤
x −x
y −x
y −x

(a)

De manera an´
aloga, como y ∈ (x, y ) tenemosque:
ϕ(y ) − ϕ(x)
ϕ(y ) − ϕ(y)
ϕ(y) − ϕ(x)
≤
≤
y−x
y −x
y −y
Luego, usando (a) y (b) se sigue que:
ϕ(y) − ϕ(x)
ϕ(y ) − ϕ(x )
≤
y−x
y −x

1

(b)

Si las derivadas de izquierda superior e inferior D− f y D− f de una funci´on f son iguales y
finitas en un punto x, decimos que f es diferenciable en la izquierda en el punto x y llamaremos a
este valor com´
un la derivada de izquierda en x. De igualforma, decimos que f es diferenciable en
la derecha en el punto x si D+ f y D+ f son iguales en ese punto.
Proposici´
on 1. Si ϕ es convexo en (a, b), entonces ϕ es absolutamente continua en cada subintervalo abierto de (a, b). Las derivadas de izquierda y derecha de ϕ existen en cada punto de (a, b)
y son iguales la una con la otra excepto en un conjunto numerable. Las derivadas de izquierda yderecha son funciones crecientes y en cada punto la derivada izquierda es menor or igual que la
derivada derecha.
Demostraci´
on. Sea [c, d] ⊂ (a, b). As´ı, por el lema anterior tenemos que
ϕ(c) − ϕ(a)
ϕ(y) − ϕ(x)
ϕ(b) − ϕ(d)
≤
≤
c−a
y−x
b−d
para x, y ∈ [c, d]. As´ı |ϕ(y) − ϕ(x)| ≤ M |y − x| en [c, d], y entonces ϕ es absolutamente continua
en ese intervalo.
Si x0 ∈ (a, b), entonces [ϕ(x)−ϕ(x0 )]/(x−x0) es una funci´on creciente de x gracias al lema anterior,
y entonces los l´ımites cuando x tiende a x0 por la izquierda y derecha existen y son finitos. As´ı ϕ
es diferenciable en la izquierda y derecha en cada punto, y la derivada por izquierda es menor o
igual que la derivada por derecha. Si x0 < y0 ,x < y0 , y x0 < y, entonces
ϕ(y) − ϕ(y0 )
ϕ(x) − ϕ(x0 )
≤
x − x0
y − y0
y cualquiera de lasdos derivadas en x0 es menor o igual que cualquiera de las dos derivadas en
y0 . Consecuentemente, cada derivada es mon´otona, y son iguales en un punto si una de ellas es
continua en ese punto. Puesto que una funci´on mon´otona puede tener solo un n´
umero finito de
discontinuidades 1 , estas son iguales excepto en un conjunto numerable.
Sea ϕ una funci´
on convexa en (a, b) y x0 ∈ (a, b). Lal´ınea y = m(x − x0 ) + ϕ(x0 ) a trav´es de
(x0 , ϕ(x0 )) es llamada l´ınea de soporte en x0 si siempre est´a por debajo de la gr´afica de ϕ, esto es,
si ϕ(x) ≥ m(x − x0 ) + ϕ(x0 ). Se sigue del Lema 1 que tal l´ınea es una l´ınea de soporte s´ı y solo
s´ı su pendiente m se encuentra entre las derivadas de izquierda y derecha en x0 . As´ı, en particular,
hay siempre al menos una l´ınea de soporte en cadapunto.
Proposici´
on 2 (Desigualdad de Jensen). Sea ϕ una funci´
on convexa en (−∞, ∞), f una funci´
on
integrable en (0, 1) y ϕ ◦ f es tambi´en integrable en (0, 1) . Entonces
ϕ(f (t))dt ≥ ϕ

f (t)dt

1

Demostraci´
on. Definamos α =

f (x) dx. Tomemos m entre la derivada por izquierda y derecha
0

de ϕ en el punto α. Luego y = m(t − α) + ϕ(α) es la ecuaci´on de una l´ınea de soporte en...