Funciones de bessel

TEMA III: FUNCIONES DE BESSEL

1.

Las funciones de Bessel de orden natural

La ecuaci´n diferencial de Bessel de orden ν, viene representada por o y + o bien x2 y + xy + (x2 − ν 2 )y = 0 donde x ∈ R y ν ∈ R (podr´ ser x, ν ∈ C) ıa Comenzaremos estudiando una soluci´n de la ecuaci´n de Bessel para ν ∈ N o o x2 y + xy + (x2 − n2 )y = 0 ,
∞

1 ν2 y + (1 − 2 )y = 0 x x

(n = 0, 1, 2, 3,...)

(1.1)

La funci´n Jn (x) = o

(−1)k ( x )n+2k 2 es soluci´n de la ecuaci´n (1.1). Adem´s como o o a k!(n + k)! k=0 = lim ( x )2 2 =0 k→∞ (k + 1)(n + k + 1) (∀x ∈ R)

(−1)k+1 ( x )n+2k+2 2 (k+1)!(n+k+1)! lim (−1)k ( x )n+2k k→∞ 2 k!(n+k)!

la serie que define a Jn (x) es convergente para todo x ∈ R. Veamos que efectivamente Jn (x) es soluci´n o de (1.1). Jn (x) =
k=0 ∞ ∞

αkxn+2k

siendo αk =
∞ k=0

(−1)k 2n+2k k!(n + k)!

Jn (x) =
k=0

(n + 2k)αk xn+2k−1 y Jn (x) =

(n + 2k)(n + 2k − 1)αk xn+2k−2

por lo que x2 Jn (x)+xJn (x)+(x2 −n2 )Jn (x) =
∞ ∞ k=0

(n + 2k)(n + 2k − 1) + (n + 2k) − n2 αk xn+2k +
∞ k=0

∞

αk xn+2k+2 =

k=0

=
k=1

(n + 2k)2 − n2 αk xn+2k + 1

αk xn+2k+2 =

∞

=
k=1

[(n + 2k + n)(n + 2k − n)] αk xn+2k +
∞∞ k=0

αk xn+2k+2 =

=
k=1 ∞

4k(n + k)αk xn+2k +

∞ k=0

αk xn+2k+2 =
∞ r=0

=
r=0

4(r + 1)(n + r + 1)αr+1 xn+2r+2 +
∞

αr xn+2r+2 =

=
r=0

[4(r + 1)(n + r + 1)αr+1 + αr ] xn+2r+2 = 0

Si tomamos en la expresi´n de Jn (x) los valores n = 0 y n = 1, obtendremos las funciones de o Bessel de orden cero y uno respectivamente: J0 (x) = 1 − ( x )2 ( x )4 ( x )6 2 + 2 2 − 2 2+ ...... (1!)2 (2!) (3!)

J1 (x) =

( x )2 ( x )4 ( x )6 x 1 − 2 + 2 − 2 + ...... 2 1!2! 2!3! 3!4!

Estas funciones tienen la particularidad de que el resto de las funciones Jn (x) con (n = 2, 3, 4, ....) pueden expresarse en t´rminos de ellas dos. e
∞ d ∞ (−1)k (−1)k (2n + 2k) 2n+2k−1 d n [x Jn (x)] = x2n+2k = x = dx dx k=0 2n+2k k!(k + n)! 2n+2k k!(k + n)! k=0

= xn

(−1)k xn−1+2k =xn Jn−1 (x) 2n−1+2k k!(k + n − 1)! k=0

∞

(n = 1, 2, 3, ...)

∞ d (−1)k (−1)k 2k d ∞ x−n Jn (x) = x2k = x2k−1 = dx dx k=0 2n+2k k!(k + n)! 2n+2k k!(k + n)! k=1

=

∞ (−1)k (−1)r+1 x2k−1 = x2r+1 = 2n−1+2k (k − 1)!(k + n)! 2n+1+2r r!(r + n + 1)! r=0 k=1

∞

= −x−n

(−1)r xn+1+2r = −x−n Jn+1 (x) 2n+1+2r r!(r + n + 1)! r=0

∞

(n = 0, 1, 2, 3, ...)

Luego hemos obtenido lasrelaciones d n [x Jn (x)] = xn Jn−1 (x) dx d x−n Jn (x) = −x−n Jn+1 (x) dx (n = 1, 2, 3, ...) (n = 0, 1, 2, 3, ...) (1.2) (1.3)

2

Si efectuamos la derivaci´n en (1.2) y dividimos por xn o Jn (x) + n Jn (x) = Jn−1 (x) x (1.4)

Con el mismo proceso, pero dividiendo por x−n , en (1.3) Jn (x) − n Jn (x) = −Jn+1 (x) x (1.5)

De (1.4) y (1.5) se deducen las siguientes relaciones recursivaspara las funciones de Bessel de orden natural. Jn−1 (x) + Jn+1 (x) =
2n x Jn (x)

(n = 1, 2, 3, ...) (1.6) (n = 1, 2, 3, ...)

Jn−1 (x) − Jn+1 (x) = 2Jn (x) para el caso n = 0 la segunda ecuaci´n se reemplaza por o J0 (x) = −J1 (x)

2.

Funciones de Bessel de primera especie y orden arbitrario
(−1)k ( x )ν+2k 2 Γ(k + 1)Γ(k + ν + 1) k=0
∞

Jν (x) =

Jν (x) ≡ funci´n de Bessel deprimera especie y orden ν (x, ν ∈ R). o Ejercicio: Comprobar que Jν (x) y J−ν (x) son soluciones de la ecuaci´n de Bessel o x2 y + xy + (x2 − ν 2 )y = 0. Nota: La soluci´n general de una ecuaci´n diferencial lineal de segundo orden o o a2 (x)y + a1 (x)y + a0 (x)y = 0 viene dada por y(x) = C1 y1 (x) + C2 y2 (x) siendo C1 y C2 constantes arbitrarias, y1 (x) e y2 (x) soluciones linealmente independientesde la ecuaci´n. o En el caso de la ecuaci´n diferencial de Bessel, no es complicado comprobar que las soluciones o Jν (x) y J−ν (x) son linealmente independientes siempre que ν ∈ R − Z, sin embargo para n = 1, 2, 3, ... J−n (x) =
∞ (−1)k ( x )−n+2k (−1)n+s ( x )n+2s 2 2 = = (−1)n Jn (x) k!(k − n)! (n + s)!s! s=0 k=n ∞

3

por lo que para ν = n ∈ N, Jn (x) y J−n (x) no son linealmente...