Funciones Funcion Cuadraticamarvin

Función Cuadrática

Prof. Marvin Montiel Araya
FUNCION CUADRATICA

Se llama función cuadrática a una función poli nómica real de variable real, que tiene grado dos.
La función cuadrática tiene la forma:
f(x)=ax2 + bx + c, a ≠ 0
Ejemplos:

f ( x) = x 2 + 3x + 2
f ( x) = 3 x 2 + x − 5
3
7
9
f ( x) = x 2 + x −
5
3
4

f ( x) = − x 2 + 3

f ( x) = x 2

El dominio de toda función cuadrática es elconjunto de los números reales, decir que Df = IR
REPRESENTACIÓN GRAFICA
La gráfica de una función cuadrática, representa una parábola cuyo eje es paralelo al eje y.
Esta parábola se abre hacia arriba si a> 0, y se dice que es cóncava hacia arriba.
Ejemplo:
La gráfica que corresponde a f(x) = 2x2 + 3x – 1 es:
8

6

4

2

-5

5

10

-2

Esta parábola se abre hacia abajo si a< 0, y se dice que es cóncavahacia abajo.
Ejemplo:
La gráfica que corresponde a f(x) = – x2 + 2x +5 es:
6

4

2

-5

5

10

-2

-4

Aunque existen muchas técnicas especiales y métodos abreviados para graficar estas funciones,
veremos un método práctico y directo, que consiste en determinar ciertos pares ordenados de la
función cuadráticas claves para su gráfica.
A continuación determinaremos esos pares ordenados para lafunción
es importante tener claro que para esta función a =1, b = -6, c = 5.

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f(x)= x2 - 6x +5,

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EJE DE SIMETRIA

Prof. Marvin Montiel Araya

La curva llamada parábola que corresponde a la gráfica de una función cuadrática, es simétrica
con respecto a una recta que es paralela al eje y, esta recta recibe el nombre de eje de simetría y
esta dado por x =

−b
.2a

Para f(x)= x2 - 6x +5, el eje de simetría corresponde a

x=

− ( −6 )
6
= =3
2
2 ⋅1

El eje de simetría para f(x)= x2 - 6x +5, corresponde a x = 3
EL VERTICE
Es el punto más alto o más bajo de la parábola. Si es cóncava hacia abajo el vértice será el punto
máximo de la gráfica; si es cóncava hacia arriba será el punto mínimo.
El vértice es un par ordenado donde x es el eje de simetría, y y seobtiene evaluando la ecuación
con el eje de simetría.
Ejemplo:
Como en nuestro ejemplo f(x)= x2 - 6x +5, su gráfica es cóncava hacia arriba, ya que a> 0, su
vértice es el punto mínimo.
Dado que ya habíamos determinado que el eje de simetría, para el vértice x = 3, además el valor
de y, se obtiene evaluando la función con 3.
Entonces
y = (3)2 - 6(3) +5
y = 9 – 18 + 5
y = -4
Por lo tanto el vérticecorresponde al par ordenado (3, - 4)
INTERSECCIÓN CON EL EJE Y
La intersección con el eje de las ordenadas, corresponde al termino independiente de la ecuación
f(x)= ax2 + bx + c, o sea corresponde a c. Por lo tanto la intersección con el eje y corresponde al
par (0 , c ).
En el ejemplo f(x)= x2 - 6x +5, la intersección corresponde al par (0, 5).
INTERSECCION CON EL EJE X
Sabemos que laintersección con el eje x, corresponde a un par ordenado donde “y” es cero.
Por lo anterior y=0, además y= ax2 + bx + c entonces podemos encontrarla intersección de está
parábola con el eje de las abscisas resolviendo la ecuación:
ax2 +bx + c = 0
El trinomio ax2 + bx + c es de segundo grado, tendrá a lo sumo dos ceros, es decir tendrá como
máximo dos soluciones o raíces.
Para saber el número de raíces realesque puede tener un trinomio cuadrático haremos uso de la
formula llama discriminante, y se llama así por que nos permite discriminar cuantas soluciones
reales tiene:
∆ = b2 – 4 ac

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El estudio de discriminante nos dará el siguiente resultado:

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1) Si ∆>0 entonces ax2 +bx + c = 0 tiene dos soluciones reales, la gráfica intersecados veces
el eje x.
2) Si ∆=0 entonces ax2 +bx + c = 0 tiene una sola solución real, la gráfica interseca una sola
vez el eje x.
2) Si ∆<0 entonces ax2 +bx + c = 0 no tiene soluciones reales, la gráfica no interseca el eje x
Ejemplo
Determinar cuantas soluciones tiene la ecuación x2 - 6x +5 = 0
Como sabemos para este ejemplo a = 1
b = -6 c = 5
Entonces:
∆ = (-6)2 – 4 ⋅1⋅5
∆ = 36 – 20
∆ = 16
y...