Funciones

En matemáticas, se dice que una magnitud o cantidad es función de otra si el valor de la primera depende exclusivamente del valor de la segunda. Por ejemplo el área A de un círculo es función de su radio r: el valor del área es proporcional al cuadradodel radio, A = π·r2. Del mismo modo, la duración T de un viaje de tren entre dos ciudades separadas por una distancia d de 150 km depende de lavelocidad v a la que este se desplace: la duración es inversamente proporcional a la velocidad, T = d / v. A la primera magnitud (el área, la duración) se la denomina variable dependiente, y la cantidad de la que depende (el radio, la velocidad) es la variable independiente.
De manera más abstracta, el concepto general de función, aplicación o mapeo se refiere en matemáticas a una regla que asigna acada elemento de un primer conjunto un único elemento de un segundo conjunto. Por ejemplo, cada número enteroposee un único cuadrado, que resulta ser un número natural (incluyendo el cero):

| ... | −2 → +4, | −1 → +1, | ±0 → ±0, |  |
|  | +1 → +1, | +2 → +4, | +3 → +9, | ... |


Esta asignación constituye una función entre el conjunto de los númerosenteros Z y el conjunto de los números naturales N. Aunque las funciones que manipulan números son las más conocidas, no son el único ejemplo: puede imaginarse una función que a cada palabra del español le asigne su letra inicial:

|..., |Estación → E, |
|Ángela |55 |
|Pedro |88 |
|Manuel |62 ||Adrián |88 |
|Roberto |90 |


 

Cada persona (perteneciente al conjunto X o dominio) constituye lo que se llama la entrada o variable independiente. Cada peso (perteneciente al conjunto Y o codominio) constituye lo que se llama la salida o variable dependiente. Notemos que una misma persona no puede tener dos pesos distintos. Notemos tambiénque es posible que dos personas diferentes tengan el mismo peso.

Ejemplo 2

Correspondencia entre el conjunto de los números reales (variable independiente) y el mismo conjunto (variable dependiente), definida por la regla "doble del número más 3".

                                              x -------> 2x + 3 o bien f(x) = 2x + 3

Algunos pares de números que se corresponden por mediode esta regla son:

|Conjunto X |Conjunto Y |Desarrollo |
|− 2 |− 1 |f(−2)  = 2(−2) + 3 = −4 + 3 = − 1 |
|− 1 |1 |f(−1)  = 2(−1) + 3 = −2 + 3 =    1 |
|0 |3 |f(0)    = 2(0)   + 3 =   0 + 3 =    3 |
|1 |5|f(1)    = 2(1)   + 3 =   2 + 3 =    5 |
|2 |7 |f(2)    = 2(2)   + 3 =   4 + 3 =    7 |
|3 |9 |f(3)    = 2(3)   + 3 =   6 + 3 =    9 |
|4 |11 |f(4)    = 2(4)   + 3 =   8 + 3 =  11 |


 

Con estos ejemplos vamos entendiendo la noción de función: como vemos, todos y cada uno de los elementosdel primer conjunto(X) están asociados a uno, y sólo a uno, del segundo conjunto (Y). Todos y cada uno significa que no puede quedar un elemento enX sin su correspondiente elemento en Y. A uno y sólo a uno significa que a un mismo elemento en X no le pueden corresponder dos elementos distintos en Y.

Ahora podemos enunciar una definición más formal:

Una función (f) es una regla que asigna acada elemento x de un conjunto X (dominio) exactamente un elemento, llamado f(x), de un conjunto Y (codominio).

Otra definición equivalente es: sean X e Y dos conjuntos. Una función de X en Y es una regla (o un método) que asigna un (y sólo uno) elemento en Y a cada elemento en X.

Usualmente X e Y son conjuntos de números.

Generalizando, si se tiene una función f, definida de un...