Funciones sobreyectivas
Páginas: 3 (519 palabras)
Publicado: 9 de diciembre de 2010
FUNCIONES SOBREYECTIVAS
Una función g definida de A en B es una función sobreyectiva si todos los elemetos de su codominio son imagenes por g de elementos del dominio; es decir, ; asi cada uno delos elementos del conjunto B es imagen de por lo menos un elemento del dominio de g
Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas
Definición 102 (Funciones inyectivas, sobreyectivas obiyecciones) Sea . Diremos que:
1. es inyectiva o 1:1 (o es una inyección) si y sólo si para todos , implica .
2. es sobreyectiva si y sólo si .
3. es biyectiva (o es una biyección) si esinyectiva y sobreyectiva.
Para antes de seguir leyendo:
1. Demuestre que para cualquier conjunto, la función identidad es una biyección.
2. Diremos que una función es constante si es unsingleton. Encuentre una condición necesaria y suficiente para que una función constante sea una biyección.
3. la función es una biyección. [ ¿Qué ocurriría si no fuera 1:1? ¿Qué ocurriría si no fuerasobreyectiva?].
Note que las propiedades de sobreyectividad y biyectividad no dependen exclusivamente de la función , sino también del conjunto , de modo que, por ejemplo, es más correcto decir: esuna sobreyección de en .
Ejemplo 103 Sea la función . Veamos que es una biyección:
1. Inyectividad: si , entonces . Por ende y .
2. Sobreyectividad: Hay que mostrar que . Es claro que .Para la otra inclusión, sea . Es fácil ver que si , entonces , y esto prueba que (dado que es imagen bajo de algún real ).
Ejemplo 104 Sea la función . Es fácil ver que , luego es sobreyectiva. Perono es inyectiva: , pero . En otras palabras, si sabemos quién es , no sabemos con seguridad quién es .
Definición 105 (Función invertible) Diremos que una función es invertible, si y sólo si larelación es también una función.
Recuerde que , luego si es invertible, entonces , e .
Ejemplo 106 Sea la función . , de modo que . Si y , entonces . Esto prueba que es una función, luego es...
Una función g definida de A en B es una función sobreyectiva si todos los elemetos de su codominio son imagenes por g de elementos del dominio; es decir, ; asi cada uno delos elementos del conjunto B es imagen de por lo menos un elemento del dominio de g
Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas
Definición 102 (Funciones inyectivas, sobreyectivas obiyecciones) Sea . Diremos que:
1. es inyectiva o 1:1 (o es una inyección) si y sólo si para todos , implica .
2. es sobreyectiva si y sólo si .
3. es biyectiva (o es una biyección) si esinyectiva y sobreyectiva.
Para antes de seguir leyendo:
1. Demuestre que para cualquier conjunto, la función identidad es una biyección.
2. Diremos que una función es constante si es unsingleton. Encuentre una condición necesaria y suficiente para que una función constante sea una biyección.
3. la función es una biyección. [ ¿Qué ocurriría si no fuera 1:1? ¿Qué ocurriría si no fuerasobreyectiva?].
Note que las propiedades de sobreyectividad y biyectividad no dependen exclusivamente de la función , sino también del conjunto , de modo que, por ejemplo, es más correcto decir: esuna sobreyección de en .
Ejemplo 103 Sea la función . Veamos que es una biyección:
1. Inyectividad: si , entonces . Por ende y .
2. Sobreyectividad: Hay que mostrar que . Es claro que .Para la otra inclusión, sea . Es fácil ver que si , entonces , y esto prueba que (dado que es imagen bajo de algún real ).
Ejemplo 104 Sea la función . Es fácil ver que , luego es sobreyectiva. Perono es inyectiva: , pero . En otras palabras, si sabemos quién es , no sabemos con seguridad quién es .
Definición 105 (Función invertible) Diremos que una función es invertible, si y sólo si larelación es también una función.
Recuerde que , luego si es invertible, entonces , e .
Ejemplo 106 Sea la función . , de modo que . Si y , entonces . Esto prueba que es una función, luego es...
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