Funciones trigonometricas

1. Funciones Trigonométricas
1.1 Introducción

Con lo visto anteriormente, tenemos que es posible definir una función da forma:

P: R → R × R t →

( x, y )

∋ P ( t ) = ( x, y )

La trigonometría (medición de ángulos) se desarrollo originalmente para resolver problemas geométricos acerca de triángulos, pues se descubrió que ciertas funciones llamadas “funciones trigonométricas” eran deutilidad para resolver tales problemas En un principio se definió cada función trigonométrica asociando a cada ángulo agudo un número igual a la razón de las longitudes de ciertos lados de un triangulo rectángulo que contenga el ángulo. Así pues el dominio de una función trigonométrica, así definido, consiste en ángulos agudos y no en números reales. Pero desde entonces, las funcionestrigonométricas han sido ampliadas de tal manera que también son útiles en situaciones de las cuales no intervienen ángulos. Aquí presentaremos las funciones trigonométricas como funciones cuyo dominio será R o un subconjunto de R .

Así tenemos que: i) ii)

P ( 0 ) = (1, 0 )
No es fácil determinar

P (1) . Para esto es necesario medir una unidad a lo

largo del círculo unitario lo cual se lograríapor medio de una regla curva. Existen unas tablas, llamadas tablas trigonométricas que permiten localizar los puntos trigonométricos. Sin embargo, existen algunos puntos que son fácilmente localizables con la siguiente ayuda de la geometría: i) ii) iii) iv) La La La La circunferencia del círculo unitario tiene longitud 2π. mitad de la circunferencia tiene longitud π. cuarta parte de lacircunferencia tiene longitud π/2. octava parte de la circunferencia tiene longitud π/4

1.2

El círculo goniométrico

Consideremos un círculo de radio 1, con centro en el origen de un sistema de coordenadas. A este círculo lo llamaremos círculo unitario o círculo goniométrico (ver Figura 1.1). Sea t ∈ R , a partir del punto (1,0) considérese un movimiento t unidades a lo largo de la circunferencia delcirculo unitario (en dirección contraria a los punteros del reloj si t ∈ R , o en la misma dirección de los punteros del reloj si
+

Por lo tanto, veremos que algunos puntos son:

P (π 2 ) = ( 0,1) P (π ) = ( −1, 0 ) P ( 3π 2 ) = ( 0, −1) P ( −π 2 ) = ( 0, −1)
Por lo tanto, es fácil localizar
Figura 1.1: Círculo unitario o goniométrico.

P ( t ) , cuando t es un múltiplo de π/2.

t ∈ R− ).

Sea t ∈ R , e

P ( t ) = ( x, y ) , entonces: x2 + y 2 = 1

Así se obtendrá un punto del círculo goniométrico, que llamaremos trigonométrico y que designaremos por

P ( t ) (ver Figura 1.2). ∃ un único punto trigonométrico P ( t ) . Sea t ∈ R ,
Note que para cada t ∈ R , tiene coordenadas

Por lo tanto, si conocemos una coordenada de salvo el signo. Ejercicio 1: Determinar

P ( t) , podemos determinar la otra,

P (π 4 )

P (t )

( x, y ) ∈ R × R ,
a) b)

entonces:
Figura 1.2: Punto trigonométrico P(t)

Solución: (ver Figura 1.3)

x2 + y 2 = 1

P (π 4 ) es el punto medio del arco que une los puntos (1,0) y (0,1) P (π 4 ) está a igual distancia del eje x que del eje y

h) c) d) e) f) ∴ P (π
2

∴

4 ) = ( x, y ) → x = y
2

1 3 P ( π 3) =  , 2 2    P (π 6 )

Sabemos que

x2 + y 2 = 1 2 ∴ x + x = 1 → 2x = 1 x=

Ejercicio 3: Determinar

g)

1 2 = (x es positivo) 2 2  2 2 ∴ P (π 4 ) =   2 , 2    
Figura 1.3: Punto trigonométrico P(π/4).

Solución: (ver Figura 1.5) a) Sean

( x, y )

las coordenadas de

P (π 6 ) AOP (π 6 ) OP (π 3) = OP (π 6 ) B= A
y

b)

   ∆OBP (π 3) ≅ ∆OAP (π 6 )    

BOP (π3) =

Ejercicio 2: Determinar

P (π 3 )
c) ∴

Solución: (ver Figura 1.4) a) Sean

( x, y )

las coordenadas de

P (π 3)
d) ∴

OA = OB AP (π 6 ) = BP (π 3) x= 3 2 ∧ 1 2 3 1 ,  2 2  y=

B

P( π /3) P( π /6)

b)

 BP ( 2π 3 ) = AP (π 3 )  C= D ∆BCP ( 2π 3) ≅ ∆ADP (π 3)   B= A 
∴

O

A

x

e)

∴

 P (π 6 ) =   

Figura 1.5: Punto trigonométrico...