Funciones Trigonométricas

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS I
1. NOCIONES PRELIMINARES 1.1. Función Inyectiva Una función F es inyectiva o univalente si y solo si para todo x1, x2 DF se cumple que: F(x1) = F(x2) x1 = x2 Interpretación Geométrica: Una función F es inyectiva si cualquier recta horizontal corta a la gráfica de F a lo más en un punto. Las restricciones para las Funciones Trigonométricas son: Función (F) y =Senx y = Cosx y = Tgx y = Ctgx y = Secx y = Cscx < 0; π > [0; π] Dominio (F) Rango (F)

[-1; 1] [-1; 1]

2.1. FUNCIÓN SENO INVERSO O ARCO SENO De las figuras mostradas se deduce que F es inyectiva. G no es inyectiva en todo su dominio; para que G sea inyectiva se debe redefinir la función, es decir, se restringe el dominio, por ejemplo si se escoge el dominio de G : y = ArcSenx Dominio:[-1;1]

1.2. Función Inversa Dada la función F = {(x; y) / y = F(x); x DF} Si F es inyectiva entonces F tiene inversa y se representa por F* o F-1 y se define por: F-1 = {(y; x) / y = F(x), x DF} También se puede escribir así: F-1 = {(y; x) / x = F-1 (y), y RF} La gráfica de F-1 se obtiene reflejando la gráfica de F a través de la recta y = x 2.2. FUNCIÓN COSENO INVERSO O ARCO COSENO y = ArcCosxDominio: [-1;1]

2.3. FUNCIÓN TANGENTE INVERSO O ARCO TANGENTE y = ArcTgx Se deduce que: = RF 2. = DF Dominio:

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

Como las funciones trigonométricas son periódicas, entonces no son inyectivas por lo tanto no tienen inversa en todo su dominio. Para que existan las inversas de dichas funciones, se debe restringir el dominio de modo que sean inyectivas.

-94-2.4. FUNCIÓN COTANGENTE INVERSO O ARCO COTANGENTE

e) Csc esto!

, ¡tenga cuidado de hacer

y = ArcCtgx

Dominio:

pues:

-

Csc [-1; 1]

f) Sen (ArcSenb) = b , siempre que: b 3.2 ArcSen(Senx) = x , si : x ArcCos(Cosx) = x , si : x ArcTg(Tgx) = x ArcCtg(Ctgx) = x 2.5. FUNCIÓN SECANTE INVERSA O ARCO SECANTE y = ArcSecx Dominio: , si : x , si : x < 0; π > [0; π] - {0} [0; π]ArcSec(Secx) = x , si : x ArcCsc(Cscx) = x , si : x

Ejemplos: a) ArcSen = ,

b) ArcCos

,

[0; π]

c) ArcTg 2.6. FUNCIÓN COSECANTE INVERSA O ARCO COSECANTE y = ArcCscx Dominio: e) ArcSec

,

d) ArcSec

,

, pues:

Para aplicar la propiedad es necesario hacer un previo cambio: Sabemos que : 3. PROPIEDADES 3.1 Sen (ArcSenx) = x , si : x Cos (ArcCosx) = x , si : x Tg (ArcTgx)= x , si : x Ctg (ArcCtgx) = x , si : x Sec (ArcSecx) = x , si : x Csc (ArcCscx) = x , si : x Ejemplos: a) Sen b) Cos c) Tg(ArcTg4) = 4 , 4 d) Sec(ArcSec2 ) = 2 , , [-1; 1] ArcSen [-1; 1] g) ArcCos (Cosp) = p , siempre que : p , 2 - [0; π] [-1; 1] [-1; 1] - - f) Arc Sen

Luego: ArcSec

hacemos un cambio:

-95-

3.3 ArcSen(-x) = -ArcSenx , ArcCos(-x) = π - ArcCosx , ArcTg(-x) = -ArcTgx, ArcCtg(-x) = π - ArcCtgx , ArcSec(-x) = π - ArcSecx , ArcCsc(-x) = -ArcCscx , Ejemplos: a) si : x si : x si : x si : x si : x si : x [-1; 1] [-1; 1] - -

Ejemplos: a)

b) 3.6

b)

Donde: Si : ab < 1 k=0 Si : ab > 1 y a > 0 Si : ab > 1 y a < 0 Ejemplos: a) θ =

b>0 b

< 0; >

b) α = ArcTg2 + ArcTg4 a Como: b

- < -1; 1 > - < -1; 1 >

Ejemplos: a) b) c) 3.5

ArcSenx +ArcCosx = ArcTgx + ArcCtgx = ArcSecx + ArcCscx = ,

,

x x x

[-1; 1]

,

-

-96-

PROBLEMAS PROPUESTOS
01. Marcar lo correcto : A) D) B) C) D) E) 08. Hallar el valor de k. E) A) B) C)

A) y , calcular D)

B) E)

C)

02. Si

la diferencia del máximo valor de F y el mínimo valor de G . A) D) B) E) C)

09. Sabiendo que k Z, calcular la suma de todos los valores que puedetomar k.

A) 2 D) 5 , 10. Calcular : n

B) 3 E) 6

C) 4

03. Si determinar el signo en cada caso : U= N= I= A) + , - , D) + , + , + 04. Calcular B) - , - , + E) + , + , C) - , - , -

A) D) 11. Calcular :

B) E)

C)

A) D)

B) E)

C)

A) D)

B) E)

C)

12. Determinar si es verdadero (V) o falso (F) : 05. Si Sen θ = 0,1 , Cos θ < 0 y 0 < θ < 2π, entonces podemos afirmar que...