Funcionesvect

Definici´
on

L´ımites y Continuidad

Matem´atica III
Funciones vectoriales
Rosa Luz Medina Aguilar
UNTELS

2015-II

Derivaci´
on e Integraci´
on

Definici´
on

L´ımites y Continuidad

Contenido
1

Definici´on
Definici´on
Operaciones con funciones vectoriales

2

L´ımites y Continuidad
L´ımite de una funci´
on vectorial
Continuidad de una funci´
on vectorial
Representaci´on gr´afica de unafunci´
on vectorial

3

Derivaci´on e Integraci´
on
Derivaci´on de una funci´
on vectorial
Integraci´on de una funci´
on vectorial

Derivaci´
on e Integraci´
on

Definici´
on

L´ımites y Continuidad

Contenido
1

Definici´on
Definici´on
Operaciones con funciones vectoriales

2

L´ımites y Continuidad
L´ımite de una funci´
on vectorial
Continuidad de una funci´
on vectorial
Representaci´on gr´afica deuna funci´
on vectorial

3

Derivaci´on e Integraci´
on
Derivaci´on de una funci´
on vectorial
Integraci´on de una funci´
on vectorial

Derivaci´
on e Integraci´
on

Definici´
on

L´ımites y Continuidad

Derivaci´
on e Integraci´
on

Definici´
on

Funciones vectoriales

Definici´on
Llamamos funci´on vectorial de una variable real t, definida en el
intervalo I ⊂ R, a la funci´
on que a cada puntodel dominio le
asocia un vector.
r (t) : R =⇒ Rm

m = 2, 3, . . .

t −→ r (t) = f1 (t), f2 (t), . . . fm (t)
f1 (t), f2 (t), . . . fm (t) son funciones reales de variable real t ≥ 0,
llamadas funciones coordenadas de r .

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on

L´ımites y Continuidad

Derivaci´
on e Integraci´
on

Definici´
on

Funciones vectoriales

Cuando:
r : I ⊂ R −→ R2
r (t) → r (t) = f (t), g (t)
El vector r (t)puede ser escrito como:
r (t) = f (t)i + g (t)j
Podemos decir que la funci´
on vectorial determina dos funciones
reales de t. Reciprocamente, las dos funciones reales determinan el
vector en el plano..

Definici´
on

L´ımites y Continuidad

Derivaci´
on e Integraci´
on

Definici´
on

Funciones vectoriales

r : R −→ R3
r (t) → r (t) = f (t), g (t), h(t)
El vector r (t) puede ser escrito como:
r (t) =f (t)i + g (t)j + h(t)k
En este caso, la funci´on vectorial determina tres funciones reales de
t. Reciprocamente, las dos funciones reales determinan el vector
en el espacio.

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L´ımites y Continuidad

Derivaci´
on e Integraci´
on

Definici´
on

Funciones vectoriales- Dominio

Dominio
El dominio de r (t) (Dom(r )) esta dado por la intersecci´on de
los dominios de cada una de lasfunciones reales componentes.
es decir, si r (t) = f (t), g (t), h(t) , entonces
I = Domr = Dom(f ) ∩ Dom(g ) ∩ Dom(h)

Definici´
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L´ımites y Continuidad

Derivaci´
on e Integraci´
on

Operaciones con funciones vectoriales

Operaciones con funciones vectoriales
Dadas las funciones vectoriales
r1 (t) = f1 (t)i + g1 (t)j + h1 (t)k

y

r2 = f2 (t)i + g2 (t)j + h2 (t)k

definidas para t ∈ I , entoncestenemos
r1 (t) ± r2 (t) = (f1 ± f2 )(t)i + (g1 ± g2 )(t)j + (h1 ± h2 )(t)k
r1 (t) · r2 (t) = f1 (t) · f2 (t) + g1 (t) · g2 (t) + h1 (t) · h2 (t)
i j k
f1 g1 h1 =
f2 g2 h2
(g1 h2 − g2 h1 )i − (f1 h2 − f2 h1 )j + (f1 g2 − f2 g1 )k
r1 (t) × r2 (t) =

ρ(t)r1 (t) = ρ(t)f1 (t)i + ρ(t)g1 (t)j + ρ(t)h1 (t)k
siendo ρ(t) una funci´
on real definida en I

Definici´
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Contenido
1Definici´on
Definici´on
Operaciones con funciones vectoriales

2

L´ımites y Continuidad
L´ımite de una funci´
on vectorial
Continuidad de una funci´
on vectorial
Representaci´on gr´afica de una funci´
on vectorial

3

Derivaci´on e Integraci´
on
Derivaci´on de una funci´
on vectorial
Integraci´on de una funci´
on vectorial

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on e Integraci´
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L´ımite de una funci´
on vectorial

L´ımite de una funci´on vectorial

Definici´on
Sea r una funci´on vectorial definida en un intervalo I que contiene
a t0 , decimos que el l´ımite de r (t) cuando t se aproxima a t0 es el
vector a y escribimos
lim r (t) = a
t→t0

si y solo si, para cada > 0 existe un δ tal que ||r (t) − a|| <
siempre que 0 < |t − t0 | < δ

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