Fundamentos De Algebra Esime-Zacatenco (Vectores)

Fundamentos de Algebra


Vectores en〖 R〗^2 y en〖 R〗^3
Transformaciones
Espacios vectoriales y sus subespacios









Índice
Prologo
Vectores en〖 R〗^2 y en〖 R〗^3
Transformaciones
Espacios vectoriales y sus subespacios
Autoevaluación




















Vectores en〖 R〗^2 y en〖 R〗^3
Una partícula que se mueve a lo largo de una recta puede hacerlo en solodos direcciones. Podemos tomar su movimiento como positivo en una de estas direcciones y negativa en la otra. Sin embargo, para una partícula que se mueve en tres dimensiones, un signo más o menos ya no basta para indicar su dirección del movimiento. En su lugar debemos utilizar un vector.
Vector:
Por definición cuando se habla de vectores se interpreta que son magnitudes Físicas que requierende una dirección (la orientación de la recta), modulo (la longitud del segmento), su dirección (la orientación de la recta) y un sentido (indica cual es el origen y cual es el extremo final de la recta).Tal y como se muestra en la Figura α.
Pero no todas las cantidades Físicas son iguales y se dividen en las siguientes categorías:
Cantidad vectorial: es aquella que tiene tanto magnitud comodirección y por tanto, se puede representar con un vector (Por ejemplo: Desplazamiento, velocidad y aceleración)
Cantidad escalares: Son aquellas que carecen de dirección (Por ejemplo: La temperatura, la presión, la energía, la masa y el tiempo) y estas se manejan con reglas de algebra ordinaria. Un solo valor, con signo (como en una temperatura de -40°)
Vectores en〖 R〗^2 :
Los vectores en〖 R〗^2 sonaquellos vectores que se localizan en el plano X e Y o en otras palabras vectores en dos dimensiones. Tienen dos componentes y son de la forma V ⃗ = Vx y Vy. Como se muestra en la Figura ß



Vectores en R^3:
Los vectores en R^3son los vectores en el espacio X,Y y Z ósea que se localizan en un espacio tridimensional. Por lo tanto tienen tres componentes y son de la forma V ⃗ = Vx , Vy YVz. Como se muestra en la Figura γ.

Adición y sustracción de vectores
Para sumar dos vectores A y B, ya sea en el plano como en el espacio tridimensional, se representa B a continuación de A, es decir, el origen de B se hace coincidir con el extremo de A. El vector A+B tiene su origen en el origen de A y su extremo en el extremo de B. Se llega al mismo resultado representando ambos vectorescon el mismo origen O, trazando el paralelogramo sobre A y B y definiendo la suma como la diagonal que pasa por O. Como se muestran en las Figura δ

Proyectando la poligonal formada por los vectores A, B y A+B sobre los ejes coordenados, resulta que las componentes de A+B son la suma de las componentes de A y de B. Si los vectores pertenecen a un plano de coordenadas x, y, se expresan como A= (a_x, a_y) y B(b_x, b_y) y su suma como (a_x + b_x, a_y +b_y)
En el espacio se tiene A= (a_x , a_y, a_Z) y B(b_x, b_y B_Z) el vector suma es (a_x + b_x, a_y +b_y, a_Z + b_z).De aquí surge que la suma de vectores es conmutativa:
A+B = B+A


El vector A+B verifica que:
|A+B|≤ |A|+ |B|
|A+B|^2 =a^2+ b^2+ 2abcos⁡⍬
Donde θ es el ángulo formado por A y B, como se muestra en la figura.
Ladiferencia A-B es igual a la suma del vector A con el vector -B, que es el opuesto de B y sus componentes son: a_x - b_x, a_y - b_y, a_z - b_z. Gráficamente, dados A y B, la diferencia
A-B se obtiene siguiendo el procedimiento que se indica en la Figura ε.
Para efectuar la suma de varios vectores habrá que colocar sucesivamente uno a continuación de otro, de manera que el origen de cada uno coincidacon el extremo del precedente. El vector suma es el que une el origen del primero con el extremo del último. De manera análoga se efectúa una suma algebraica, con la salvedad que habrá que considerar los opuestos de los vectores que aparecen restados.
Producto escalar
Se llama producto escalar o interno de dos vectores A y B al escalar que se obtiene como producto de los módulos de ambos...