Fuzzy Sets

Conjuntos borrosos * por E. Renedo y S. Guadarrama
,
L. A. Zadeh
Department of Electrical Engineering and Electronics Research Laboratory,
University of California, Berkeley, California.

Resumen
Un conjunto borroso es una clase de objetos con un grado de pertenencia continuo.
Dicho conjunto se caracteriza por una funci´n de pertenencia (funci´n caracter´
o
o
ıstica)
que asigna a cadaobjeto un grado de pertenencia evaluable entre cero y uno. Las
nociones de inclusi´n, uni´n, intersecci´n, complemento, relaci´n, convexidad, etc. se
o
o
o
o
extienden a estos conjuntos, a la vez que se establecen diversas propiedades de estas
nociones en el contexto de los conjuntos borrosos. En particular, se demuestra un
teorema de separaci´n para conjuntos borrosos convexos sin exigirque sean disjuntos.
o

1.

Introducci´n
o

La mayor´ de las veces, las clases de objetos que se encuentran en el mundo real
ıa
no disponen de un criterio de pertenencia definido con precisi´n. Por ejemplo, la clase
o
’animales’ incluye entre sus miembros perros, caballos, p´jaros, etc. y excluye claramente
a
objetos tales como rocas, fluidos, plantas, etc. Sin embargo, objetos talescomo estrella
de mar, bacteria, etc. tienen un status ambiguo en relaci´n con dicha clase. Esta misma
o
ambig¨edad aparece en el caso del n´mero 10 en relaci´n a la “clase”de los n´meros reales
u
u
o
u
mucho mayores que 1.
Ciertamente, la “clase de todos los n´meros reales mucho m´s grandes que 1”, o ”la
u
a
clase de la mujeres hermosas”, o ”la clase de los hombres altos”, noconstituyen clases o conjuntos en sentido matem´tico usual. Sin embargo, es un hecho que tales “clases”definidas
a
de un modo impreciso juegan un papel importante en el razonamiento, en especial en
dominios de reconocimiento de patrones, comunicaci´n de informaci´n, y abstracci´n.
o
o
o
Este trabajo tiene el objetivo de explorar de forma preliminar algunas de las propiedades
e implicaciones de unconcepto util cuando nos ocupamos de las “clases” citadas. El concep´
to en cuesti´n es el de conjunto borroso 1 , esto es, una “clase” con un grado de pertenencia
o
*

Traducido del art´
ıculo “Fuzzy Sets”, publicado en 1965, Information and Control, 8, 338-353.
Una aplicaci´n de este concepto a la formulaci´n de un tipo de problemas en reconocimiento de
o
o
patrones se describe en RANDMemorandum RM-4307-PR, “Abstraction and Pattern Classification”, por
R. Bellman, R. Kalaba y L. A. Zadeh, Octubre, 1964.
1

1

continuo. Como veremos m´s adelante, la idea de conjunto borroso nos da un conveniente
a
punto de partida para la construcci´n de un marco de referencia conceptual que parango
ona en muchos aspectos al utilizado en los conjuntos ordinarios, aunque es m´s general
aque ´ste y, potencialmente, puede probar que tiene un mayor ´mbito de aplicaci´n, en
e
a
o
particular, en el campo de la clasificaci´n de patrones y el proceso de informaci´n. En
o
o
esencia, este marco proporciona un modo natural de tratar con problemas en los que la
imprecisi´n aparece como consecuencia de la ausencia de criterios de pertenencia definidos
o
n´
ıtidamente en vez de lapresencia de variables aleatorias.
Empezaremos la discusi´n sobre conjuntos borrosos con algunas definiciones b´sicas.
o
a

2.

Definiciones

Sea X un espacio de puntos (objetos), con un elemento gen´rico denotado por x. As´
e
ı,
X = {x}.
Un conjunto (clase) borroso A en X se caracteriza por una funci´n de pertenencia
o
fA (x) que asocia a cada punto2 de X un n´mero real del intervalo[0, 1]3 , donde el valor
u
fA (x) en x representa el ”grado de pertenencia de x a A”. As´ cuanto m´s se aproxima
ı,
a
fA (x) a la unidad, tanto mayor es el grado de pertenencia de x a A. Cuando A es un
conjunto en el sentido ordinario del t´rmino, su funci´n de pertenencia puede tomar los
e
o
valores 0 y 1 solamente, con fA (x) = 1 ´ 0 seg´n x pertenezca o no a A. De modo que,
o
u
en...