Gabonelo

4.1 Formas Indeterminadas.

Competencia.
Resolver integrales impropias aplicando el tratamiento de formas indeterminadas de
límites y conversión de coordenadas rectangulares y polares para la interpretación de las
graficas más usuales de nivel básico, con disposición para el trabajo colaborativo y una
actitud crítica y responsable.
HC: 8, HT: 12.

1

Unidad 4 Integrales Impropias.4.1 Formas indeterminadas.

Competencia.
Resolver límites de formas indeterminadas aplicando la regla de L’ Hopital, o utilizando
reglas de límites aprendidas en Cálculo diferencial.
4.1.1 Regla de L’Hopital.
Teorema 4.1.1.1 (Regla de L’Hôpital).

Sean f y g dos funciones derivables en un intervalo abierto [a, b] que contiene el punto c,
excepto posiblemente en dicho punto c; y sea g’(x)≠ 0 para todo x ≠ c de [a, b].

Si

Lim
xc

y si

f ( x)  Lim g ( x)  0 , y si
xc

0

xc

f ( x)

f ( x)

Lim g ( x)  L, entonces se dice que Lim g ( x)  L,
xc

Ejemplo 1.

f ( x)

Lim g ( x)  0 ,

Calcular

xc

Lim
x 0

Si se determina f (0) 

Sen x
x
0
Sen 0 0
 se obtiene , que no existe, se dice que se
0
0
0

encontró unadiscontinuidad eliminable, cuya solución se alcanza por L ’Hôpital, derivando
el numerador y el denominador hasta determinar una solución.
Proceso: Se aplica regla de L’Hôpital, y se obtiene

Lim
x0

Cos x
 1 , que es la solución.
1

Nota. En el caso que al aplicar la regla de L’Hôpital se obtenga nuevamente
vuelve a derivar hasta obtener un valor.

2

, se

4.1 Formas Indeterminadas.

x3  x 2  33x  63
Lim x3  4 x 2  3x  18
x 3

Ejemplo 2. Calcular

3x 2  2 x  33 0
Lim 3x 2  8x  3  0 , por lo
x 3

Solución. Se aplica la regla de L ’Hôpital, y se obtiene

6x  2

20

Lim 6 x  8  10  2 ,

cual se vuelve a utilizar L’Hôpital,

siendo 2 la solución.

x3

Teorema 4.1.1.2 (Segunda regla de L’Hôpital).

Si f y g son dos funciones derivables enun intervalo abierto [a, b] que contiene el punto c,
excepto posiblemente en dicho punto c; y sea g’(x) ≠ 0 para todo x ≠ c de [a, b].

Si

Lim
xc

y si

f ( x)  Lim g ( x)   , y si
xc

f ( x)



Lim g ( x)   ,
xc

f ( x)

f ( x)

Lim g ( x)  L, entonces se dice que Lim g ( x)  L,
xc

xc

Nota. Todos los límites de los teoremas pueden ser sustituidospor límites a la derecha o por
límites a la izquierda sin que se afecte la validez del teorema.

Ejemplo 3. Calcular

Lim
x

Ln x
x5

Si aplicamos la regla de L’Hôpital, obtenemos

1

Lim 5x
x

5

 0 , donde 0 es la solución.

3

Unidad 4 Integrales Impropias.
Ejercicios para Taller 4.1.1.3.

En los ejercicios 1 a 11. Determine los límites siguientes.

Lim

2)Lim

1)

3
x Csc x
5 x 3  5 x 2  6 x  10
x 3  x 2  3x

4)

x0

3)

x

5)

Lim
x 4

7)

x 1

10)

x 

1  Cos x
x

Lim

x3  2 x 2  5 x  6
x2  x  2

x0

6)

x2

x3  3x 2  x  3
x2  4x  3

Lim

Lim

x 0

x 3  5 x 2  8 x  48
x 2  8 x  16

Lim

Lim

x 3  5x 2  6 x
x 2  3x

8)

Lim
x

x 4  625
x5 243

11)

x
ex

Lim
x 2

9)

Lim
x 

Ln x
ex

x3  2 x 2  5x  6
x2  x  6

Ejercicios para Tarea. 4.1.1.4.

Determine los límites siguientes.
1)

Lim
x 0

3)

Lim
x 

6)

Lim
x 

4

Ln x
x

Ln x
2x

Sen x  3x
x

4)

2)

x 0

Lim

Tan x
x Sec x

5)

Lim

x 2  3x
x2  x

8)

x0

7)

Lim

x0

Tan 3x
3xLim

x2
Ln Cos x

Lim

Ln x 3
10 x

x0

x

4.2. Integrales Impropias.

4.2 Integrales impropias.

Competencia.
Resolver integrales con límites infinitos o con un número finito de discontinuidades infinitas en
el intervalo [a, b], utilizando los teoremas correspondientes, para resolver problemas de
aplicación de integrales impropias.

4.2.1 Definición de Integral...