Galicia

Derivada de una Función:
En geometría, la derivada de una función en un punto representa el valor de la pendiente de la recta tangente en dicho punto. La pendiente está dada por la tangente del ángulo que forma la recta tangente a la curva (función) con el eje de las abscisas, en ese punto.
La derivada de una función mide el coeficiente de variación de dicha función. Es decir, provee unaformulación matemática de la noción del coeficiente de cambio. El coeficiente de cambio indica lo rápido que crece (o decrece) una función en un punto (razón de cambio promedio) respecto del eje  de un plano cartesiano de dos dimensiones. Por ejemplo si tomamos la velocidad de algo, su coeficiente es la aceleración, la cual mide cuánto cambia la velocidad en un tiempo dado.



La derivada de lafunción en el punto marcado equivale a la pendiente de la recta tangente (la gráfica de la función está dibujada en negro; la tangente a la curva está dibujada en rojo)

Crecimiento y decrecimiento:
Crecimiento:
Si f es derivable en a:

Decrecimiento
Si f es derivable en a:


Función estrictamente creciente







Función creciente















Funciónestrictamente decreciente





Crecimiento y decrecimiento
Una función f es creciente es un intervalo si para cualquier par de números x1, x2 del intervalo..
Una función f es decreciente es un intervalo si para cualquier par de números x1, x2 del intervalo, .

Crecimiento
Si f es derivable en a:

Decrecimiento
Si f es derivable en a:


Cálculo de los intervalos de crecimiento y decrecimientoEstudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de:
F(x) = x3 − 3x + 2
Para hallar su crecimiento y decrecimiento vamos a realizar los siguientes pasos:
1. Derivar la función.
f '(x) = 3x2 −3
2. Obtener las raíces de la derivada primera, para ello hacemos: f'(x) = 0.
3x2 −3 = 0 x = -1 x = 1
3. Formamos intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la derivada primera y los puntosde discontinuidad (si los hubiese).

4. Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada primera.
Si f'(x) > 0 es creciente.
Si f'(x) < 0 es decreciente.
Del intervalo (−∞, −1) tomamos x = -2, por ejemplo.
Del intervalo (−∞, −1) tomamos x = −2, por ejemplo.
F'(−2) = 3(−2)2 −3 > 0
Del intervalo (−1, 1) tomamos x = 0, por ejemplo.
F'(0) = 3(0)2 −3 < 0
Delintervalo (1, ∞) tomamos x = 2, por ejemplo.
F'(2) = 3(2)2 −3 > 0

5. Escribimos los intervalos de crecimiento y decrecimiento:
De crecimiento: (−∞, −1)  (1, ∞)
De decrecimiento: (−1,1)


Ejemplo










Sea f una función continua con ecuación y = f(x), definida en un intervalo [a, b]. La siguiente es la representación gráfica de f en el intervalo [a, b]. 
En la gráfica anteriorpuede observarse que la función f es:
1.) Creciente en los intervalos (a,x3),(x5,x6)
2.) Decreciente en los intervalos(x3,x5),(x6,b)
Criterio de crecimiento y decrecimiento
Sea f una función continua en el intervalo cerrado  y derivable en el intervalo abierto .
1. Si  es creciente en 
2. Si  es decreciente en 
3. Si  es constante en 







Criterio de concavidad y convexidad-En matemática, una función es cóncava cuando dados dos puntos cualesquiera en el dominio de la función, el segmento que los une queda por debajo de la curva. Presenta su concavidad hacia abajo.1 Una función cóncava es lo opuesto de una función convexa.
Hemos tomado el criterio de que el valle tiene forma convexa y la montaña forma cóncava.
Es posible encontrar textos en los que se define laconcavidad y la convexidad de manera opuesta, usando el criterio de que el valle tiene forma cóncava y la montaña forma convexa.
Pero esta definición que damos no sólo alude a un criterio visual que puede ser confuso desde el punto de vista del observador, sino que podemos dar una definición más precisa:
Una función es cóncava en un intervalo de su dominio cuando:
Dados dos puntos cualesquiera de...