Gauss

CARL FRIEDRICH GAUSS

ESTUDIO
DE
SU
OBRA
“DISQUISITIONES
ARITHMETICAE” Y CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS
REGULARES CON REGLA Y COMPÁS

Pablo García Hernández, diciembre de 2006.
Universidad Autónoma de Madrid

1

Índice………………………………….
1. Introducción……………………………………………………Pag. 2
2. Disquisitiones Arithmeticae………………………………………. 3
3. Introducción a la construcción de polígonos regulares con regla
ycompás……………….……………………………………………. 6
4. Estudio de la sección VII de Disquisitiones Arithmeticae…….. 8
5. Construcción de un heptadecágono regular con regla y
compás………………………………………………………………… 9
6. Wantzel……………………………………………………………..12
7. Gauss: Biografía……………………………………………………14
8. Referencias…………………………………………………………19

Anexos
Disquisitiones Arithmeticae, Carl Friedrich Gauss (1801)
Journal de Mathématiques. Recherches sur lemoyens
reconnaître si un problème de Géométrie peut se résoudre
avec la règle et le compas, M. L. Wantzel (1836)

2

1.INTRODUCCIÓN
Este trabajo tiene como finalidad hacer un estudio de la obra de
Gauss centrándose en su primera época y su primer libro,
“Disquisitiones Arithmeticae”. Dicho libro pasa por ser una de las
obra maestras de las matemáticas y contiene algunos de los
resultados más famososde Gauss.
No se pretende entrar en analizar todos los resultados de
“Disquisitiones Arithmeticae“ pero sí hacer una descripción de los
temas más relevantes que en él se tratan y profundizar en el
resultado que le llevó a concluir qué polígonos regulares podían ser
construidos con regla y compás. El teorema que da respuesta a
esta pregunta fue publicado por Gauss en este libro en 1801 pero
sudemostración quedó incompleta, siendo el matemático francés
Pierre Wantzel el responsable de concluirla en 1837. Por eso este
resultado es también conocido como Teorema de Gauss-Wantzel y
es por ello también que analizaremos ligeramente la obra en la que
Wantzel publicó su demostración del resultado anteriormente citado.
Para completar el estudio mostraremos la construcción del polígono
regular de 17lados, el heptadecágono, que fue el que catapultó a
Gauss a la fama y la punta de lanza de la teoría de números que
posteriormente describió en “Disquisitiones Arithmeticae”, y también
se ofrece una biografía detallada de Carl Friedrich Gauss así como
las referencias utilizadas para la elaboración de este trabajo.
Es éste por tanto un documento de valor consultivo que debe servir
como una primeraaproximación a algunos de los resultados más
fascinantes de Gauss.

3

2.DISQUISITIONES ARITHMETICAE
Este libro es sin duda el primer gran libro de Gauss y una de las
obras fundamentales de la historia de las matemáticas.
Fue escrito en latín cuando Gauss tenía tan solo 24 años.
Gauss acomete la elaboración de sus “disquisiciones aritméticas”
durante su estancia en la universidad de Göttingenentre los años
1795 y 1798. En él recoge dos de sus resultados más brillantes
hasta ese momento: la descomposición de todo número entero en
tres triangulares y la construcción del heptadecágono regular. Sin
embargo el libro no se editará hasta el verano de 1801.
Con este libro Gauss dota a la Teoría de Números de una entidad
similar a la del análisis o la geometría y se convierte definitivamente
enuna rama de las matemáticas.
Las “disquisiciones” tratan sobre números enteros y excluye a
menudo a los fraccionarios y siempre a los irracionales. El libro se
organiza en siete secciones:
1.

Números congruentes en general

2.

Congruencias de primer grado

3.

Residuos de potencias

4.

Congruencias de segundo grado

5.

Formas y ecuaciones indeterminadas de segundo grado

6.

Aplicaciones de lasnociones anteriores

7.

Ecuaciones de las secciones de un círculo.

Secciones I y II
Gauss introduce por primera vez en esta sección la notación
aritmética en congruencias. Así, dos números enteros a y b cuya
diferencia a-b sea divisible por el número m pasan a denominarse
congruentes respecto al módulo m, y la notación será aºb (mod m).
Por ejemplo, 100º2 (mod 7) o 35º2 (mod 11)....