Gaymer

FI33A RESUMEN EXAMEN
asantis@ing.uchile.cl
I.

ECUACIONES DE MAXWELL Y ONDAS
Ecuaciones de Maxwell
∂D
∂t
∂B
∇×E = −
∂t
∇D = ρ

∇× H = J +

∇B = 0

B = µ H (campo magnético )
D = ε E (desplazamiento eléctrico )
J = g E (densidad de corriente )
* B = ∇× A

∂A
∂t

E = −∇V −

* Densidad de energía u =

1
2

( B · H + E · D)

* Vector de Poynting (corriente deenergía)

=> Energía U =

1
2

∫ ( B · H + E · D ) dV

S= E×H

* Condiciones de borde (CB)
∂σ
n × H 2 − H1 = K
∂t
* El campo eléctrico en general es discontinuo, pero hay una cantidad compleja que si
B1n = B2 n

D2 n − D1n = σ

E1t = E2t

es continua, teniéndose que
* Ecuación de onda cuando

(

J 2 n − J1n =

(ε + ) E = (ε + ) E
ρ ( r, t ) = 0
=> B ( r , t ) = B e
ig11

ω

ig 2

1n

2

ω

2n

∂2 B
∂B
i ( k ⋅r −ωt )
= µg
0
2
∂t
∂t
∂2 E
∂E
∇ 2 E − εµ 2 = µ g
=> E r , t = E0 ei ( k ⋅r −ωt )
∂t
∂t
ig 

2
ˆ
k 2 = ω 2 µε 1 +
 = ω µε + i µ gω , k = kk
 εω 

∇ 2 B − εµ

( )

* Longitud de penetraciçon
Conductor muy bueno: δ ≈

δ=
2
µ gω

2

µω

1

ε 2ω 2 + g 2 − εω
Mal conductor: δ ≈

2
g

ε
µ

)1

*Velocidad de la onda v =
2π
k

λ=

*Longitud de onda

µε

*Indice de refracción n =

µε
µ0 ε 0

con la velocidad de la luz c =

1

µ0 ε 0

* E , B y k forman un triedro de vectores mutuamente ortogonales.
*Medios aislantes => g = 0.
*Sean p y s vectores ortogonales que generan un plano ortogonal a k, vector de propagación.
Entonces el vector constante (complejo)del campo eléctrico E 0 se puede escribir como
E0 = p E p e

iφ p

+ s Es

E p , Es

*Polarización circular

E p = Es y φ p =

*Polarización lineal

reales.

φp = 0

π
2

*En general la polarización es elíptica.
*Físicamente lo que tiene valor es la parte real de E y B
*Densidad media de energía de la onda
*Promedio temporal vector de Poynting
*B =

n
c

(k × E )

(n
S =< S > =
(E
2µ c

u =< u >t = 1 ε E p 2 + Es 2
2
t

2
p

+ Es 2

)
) k = 1 Re {E × H }
2

*Sea una interfaz en el plano XY que divide los medios 1 y 2. La onda llega a la interfaz en un
ángulo θ1 (El vector k pertenece al plano XZ) se refracta en un ángulo θ 2 y se refleja en un
ángulo θ1 '. A partir de esto se tiene que:
=>ω es la misma para todas las ondas.
=> k1 =k1 ' =

n1
c

k2 =

n2
c

=> θ1 = θ 2
=> n1 sin θ1 = n2 sin θ 2

Ej.
Considere un medio material levemente conductor con conductividad g, constante
dieléctrica ε y permeabilidad magnética µ. Suponga que los campos magnético
y eléctrico son de la forma

E = iE (z )exp ( i ωt )
B = jB (z )exp ( i ωt )
a ) Demuestre que si los campos satisfacen las ec. de Maxwell, entonces E(z)satisface la ecuación

d 2E (z )
+ ω 2 ε E (z ) = i ωµ gE (z )
2
dz

¿Qué condición debiera imponer a la solución cuando z → +∞?. Suponga que en el
plano z = 0 la magnitud de E (z ) = E 0 . ¿Cómo se relaciona B (z ) con E (z )?
SOLUCION
a)) Supongamos que estos campos satisfacen las ecuaciones de Maxwell.
1. ∇× H = J +

∂D
1
∂E

∇× B = g E + ε
µ
∂t
∂t

i

∇× B =

j

k∂
∂x
0

∂
∂y
B( z ) exp ( iωt )

∂
dB( z )
=i
exp ( iω t )
∂z
dz
0

∂E
= i ( iω ) E ( z ) exp ( iω t )
∂t
dB( z )
=>
= µ gE ( z ) + iωµε E ( z )
dz
∂B
2. ∇ × E = −
∂t
i

∇× E =

j

∂
∂x
E ( z ) exp ( iω t )

∂
∂y
0

(*)

k

∂
dE ( z )
= j
exp ( iωt )
∂z
dz
0

∂B
dE ( z )
= j ( iω ) B( z ) exp ( iω t ) =>
exp ( iω t ) = iω B( z ) exp ( iω t)
∂t
dz
d
d 2 E ( z)
Haciendo
∇× E = j
exp ( iωt )
dz
dz 2
d 2 E( z)
dB( z )
=>
= iω
. Reemplazando esta igualdad en (*) se obtiene
2
dz
dz

(

)

d 2 E( z)
=>
= iωµ gE ( z ) − ω 2 µε E ( z ) E 2 = B 2 = 0 por lo que no hay onda en 2.
Luego las condicione de borde para el campo eléctrico incidente tienen la forma:

(

)

n × E1 + E '1 = 0
Lo que implica que...