Geometría

GEOMETRÍA

::: 1º CICLO: Teoría de las Transformaciones.

Concepto GEOMETRÍA.
GEO proviene del Griego que
significa Tierra o superficie.
•

METRIA significa medida o
medición.
•

Medir y representar las figuras
planas y volumétricas de la tierra.
•

UNIVERSIDAD DE CHILE

Facultad de Arquitectura y
Urbanismo

Profesora: Mirtha Pallarés Torres

Geometría
Primer Año 2013GEOMETRÍA

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Concepto GEOMETRÍA.
El desarrollo y evolución de la
geometría esta inserto en:
•

•

un campo dinámico

•interrelacionado

con el mundo

real.

Diferentes realidades dan origen
a diferentes modelizaciones
geométricas
•

Diferentes lenguajes matemáticos
dan origen a enfoques que
metodológicamente han
diferenciadola geometría.
•

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1879 Félix Klein sienta las bases de la definición moderna y unificadora de la
Geometría:
•

Existen dos bases fundamentales.

•E
•

Un Grupo G(E) de
Transformaciones de dichoespacio E

Un espacio E

•

El Grupo de Transformaciones
G(E) contiene como mínimo:
•

•

A

cualquier conjunto no vacío.

T

B

La Identidad

Está inserto en el Grupo de
todas las posibles Biyecciones de
E en E.
•

a

a1

a1= a

A=B

b

b1

b1= b

T=I

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A partir del par (E, G( E )) .

A

T

B

a

a1

b

b1

T(F) = F’

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Urbanismo

L

Se pueden clasificar figuras y
conjuntos no vacíos de E de
acuerdo con las transformaciones
G(E), donde:
•

Dos figuras F y F` son
equivalentessi y solo si existe una
transformación T en G(E) que
transforme F en F`.
•

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A partir del par (E, G( E )) .

A

T

B

a

a1

Sobre este espacio se pueden
generar distintos grupos de
transformaciones, que darán origen
a distintas Geometrías.

b

b1•

•

Para Klein la diferencia entre
Geometrías está dada por el
grupo de INVARIANTES que
presenta.
Las invariantes son ropiedades
que se mantienen al aplicar un
tipo especial de transformación
geométrica.
•

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A partir del par (E, G( E )) .

A

T

B

a

a1

b

b1

El objeto de cada Geometría es el
estudio del grupo de
transformaciones que la
caracteriza.
•

•

Ejemplo: Geometría Euclidiana.

Grupo de transformaciones las
isometrías .
•

Invariantes: Distancia, ángulo,
paralelismo, perpendicularidad,
etc.
•

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Teoría de las Transformaciones.
A

R

B

A

a

a1

a

b

b1

R

B

b

a1

Patrón de referencia. Concepto
de unificación y codificación de la
Geometría
•

•

Definición Transformación.

DefiniremosTransformación de
un conjunto A sobre un conjunto B
cuando exista una relación
biunívoca (o mapeo biunívoco o
uno es a uno).
•

A

R

B

A R=T B

a

a1

a

a1

b

b1

b

b1

c1
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Donde distintos elementos de A
tienen distintas y únicas imágenes
en B.
•Y el conjunto de las imágenes o
F(A)= B.
•

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