Geometria analitica -Bracho

Capítulo 1
El Plano Euclidiano
1.1

La Geometría Griega

En el principio, la geometría era una colección de reglas de uso común para medir
y construir casas y ciudades. Fue hasta el año 300 AC que Euclides de Alejandría,
en sus Elementos, ordena y escribe todo ese saber, imprimiéndole el sello de rigor
lógico que caracteriza y distingue a las matemáticas. Se da cuenta de que todorazonamiento riguroso (o demostración) debe basarse sobre ciertos principios previamente
establecidos ya sea, a su vez, por demostración o bien por convención. Pero a final
de cuentas, este método conduce a la necesidad ineludible de convenir en que ciertos
principios básicos (postulados o axiomas) son válidos sin necesidad de demostrarlos,
que están dados y son incontrovertibles para poder construirsobre ellos el resto de
la teoría. Lo que hoy se conoce como Geometría Euclidiana, y hasta hace dos siglos
simplemente como Geometría, está basada sobre los cinco postulados de Euclides:
I Por cualesquiera dos puntos, se puede trazar el segmento de recta que los une.
II Dados un punto y una distancia, se puede trazar el círculo de centro el punto y
radio la distancia.
III Un segmento derecta, se puede extender en ambas direcciones indefinidamente.
IV Todos los ángulos rectos son iguales.
V Dadas dos rectas y una tercera que las corta, si los ángulos internos de un lado
suman menos de dos ángulos rectos, entonces las dos rectas se cortan y lo hacen
de ese lado.
Obsérvese que en estos postulados se describe el comportamiento y la relación entre
ciertos elementos básicos de lageometría, como son “punto”, “trazar”, “segmento”,
“distancia”, etc. De alguna manera, se le dá la vuelta a su definición haciendo uso de
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CAPÍTULO 1. EL PLANO EUCLIDIANO

la noción intuitiva que se tiene de ellos y haciendo explicitas ciertas relaciones básicas
que deben cumplir.
De estos postulados o axiomas, el quinto es el más famoso pues se creía que
podría deducirse de losotros. Es más sofisticado, y entonces se pensó que debía
ser un Teorema, es decir, ser demostrable. De hecho, un problema muy famoso
fué ese: demostrar el quinto postulado usando unicamente a los otros cuatro. Y
muchísimas generaciones de matemáticos lo atacaron sin exito. No es sino hasta el
siglo XIX, y para la sorpresa de todos, que se demuestra que no se puede demostrar;
que efectivamente hayque suponerlo como axioma, pues negaciones de él dan origen
a “nuevas geometrías”, tan lógicas y bien fundamentadas como la euclidiana. Pero
esta historia se vera más adelante (en los Capítulos 6 y 8) pues por el momento nos
interesa introducir a la geometría analítica.
La publicación de la “Geometrie” de Descartes (1596—1650) marca una revolución
en las matemáticas. La introducción delálgebra a la solución de problemas de índole geométrico desarrolló una nueva intuición y con ésta, un nuevo entender de la
naturaleza de las “Linges Courves”.
Para comprender lo que hizo Descartes, se debe tener más familiaridad con el
quinto postulado. Además del enunciado original, hay otras dos versiones que son
equivalentes:
V.a (El Quinto) Dada una línea recta y un punto fuera de ella, existeuna única
recta que pasa por el punto y que es paralela a la línea.
V.b Los ángulos interiores de un triángulo suman dos ángulos rectos.
De las tres versiones que hemos dado del quinto postulado de Euclides, usaremos
a lo largo de este libro a la V.a, a la cual nos referiremos simplemente como “El
Quinto”.
Antes de entrar de lleno a la Geometría Analítica demostremos, a manera de homenaje alos griegos y con sus métodos, uno de sus teoremas más famosos e importantes.

c

a
b

Teorema 1.1.1 (Pitágoras). Dado un triángulo rectángulo, si los lados
que se encuentran en un ángulo recto (llamados catetos) miden a y b, y el
tercero (la hipotenusa) mide c, entonces
a2 + b2 = c2 .

Demostración. Considérese un cuadrado de lado a + b, y colóquense en él cuatro
copias del...