gfdf

Matem`tiques 102808
a

Grau de Ci`ncies Ambientals
e

Problemes. Llista 1: Funcions b`siques.
a

Curs 2014–2015

1.A. Exercicis te`rics
o
1. Expresseu en forma d’una sola pot`ncia:
e
53 · 5−5 · 52
(a)
54 · 5−2
(b)

3
(c)
2

6

4
5

·

6

(e)

√
7
(d) π 1/7 π 2 2π 6 /(π213/7 )

(23 )4 · (36 )2
(62 )3

3
4

5

·

7
3

5 −5

√ 2004 √ 3003
3
(f)(− 1 )2003 3
3
3

2. Trobeu les arrels dels polinomis seg¨ents:
u
(a) x 2 + 4x + 4,

(c) x 4 + 4x 2 + 3,

(b) x 2 + 36,

(d) x 3 − 3x 2 − 4x + 12.

3. Resoleu les equacions seg¨ents:
u
(a)

5x
2x
3
+
=
,
2−1
x
x +1
x −1

(c) x −

√

(b)

25 − x 2 = 1 ,

(d)

(x + 5)2
= 1,
(2x − 3)2
(x − 1)(x − 2)
= 3.
x −2
1+
x −3
1−
x

4. Resoleu les equacionsexponencials seg¨ents:
u
2

(a) 31−x =

1
,
27

(b) 9x − 3x = 3(1 + 3x−1 ),

(c) 72x+3 − 8 · 7x+1 + 1 = 0.

5. Resoleu les equacions logar´
ıtmiques seg¨ents:
u
(a) 2 log10 x − log10 (x − 16) = 2.
1
(b) (x 2 − x − 3) log10 4 = 3 log10 4 .

(c) (2 + x) log10 22−x + log10 1250 = 4.
(d) log2 x 2 − log2 (x − 3 ) = 2,
4
6. Verifiqueu la identitat
1 + cos x
sin x
2
+
=
.
sinx
1 + cos x
sin x
7. Calculeu
(a) sin(arcsin(4/5)),
(b) cos(arctan(12/5)),
(c) sin(arctan x) en termes de x,
1

(d) tan(arccos x) en termes de x.
8. Resoleu les inequacions seg¨ents:
u
(a) x + 1 < 2x − 7,
(d)

x +2
< 0,
3x − 7

(b) − x + 1 ≤ −4,
(e)

s +π
< 1,
s

(c) (3y + 1)(y − 2) > 1,
(f) x 3 − x ≥ 0,

9. Resoleu les inequacions seg¨ents en les qu` interv´ el valorabsolut: (a) |x −2| ≤ 3, (b) 5 ≤ |x| ≤ 6,
u
e
e
(c) 1 − |x| < 3, (d) |x + 1| ≤ |x|.
10. Escriviu l’equaci´ cartesiana de la recta (i dibuixeu-la)
o
(a) que passa pels punts (3, −1) i (−2, 1);
(b) de pendent −3/5 i que passa per (1, −2);
(c) paral.lela a la recta 3y + 2x + 1 = 0 que passa per (1, −3);
(d) perpendicular a la recta 3y + 2x + 1 = 0 que passa per (−1, 2);
11. Escriviul’equaci´ de la circumfer`ncia que t´ el centre a (−1, 4) i t´ radi 3. Trobeu el centre i el radi
o
e
e
e
2 + y 2 = 16. Trobeu el centre i el radi de la circumfer`ncia
de la circumfer`ncia d’equaci´ (x − 2)
e
o
e
d’equaci´ x 2 + y 2 − 4x + 2y = 11.
o
12. Escriviu l’equaci´ de la par`bola d’eix vertical (i dibuixeu-la) tal que
o
a
(a) passa pels punts (1, 1), (−1, 2) i (0, 0);
(b) tallal’eix d’ordenades al punt 4 i l’eix d’abscisses als punts 1 i 2.
13. Dibuixeu el gr`fic de les funcions seg¨ents: f (x) = |(x − 2)(x + 3)| i f (x) = |x − 3| + |x + 2|.
a
u

1.B. Exercicis d’aplicaci´
o
14. Hall (1964) va estudiar el creixement de la poblaci´ de les esp`cies de zoopl`ncton Daphnia galeata
o
e
a
mendota a Base Line Lake, Michigan. La mida de la poblaci´ a l’instant t veniamodelada per
o
l’equaci´ N(t) = N0 e r t on N0 ´s la mida inicial de la poblaci´ i r ´s una constant. Si en un
o
e
o
e
moment donat hi ha 200 individus i despr´s d’una unitat de temps hi ha 250 individus, quin ´s el
e
e
valor de r ?
15. Una mesura cl`ssica de la biodiversitat ´s l’´
a
e ındex de Shannon H que es calcula aix´
ı:
n

H=−

pi log pi
i=1

on pi ´s la proporci´ del’esp`cie i-`ssima. Si hi ha 10 esp`cies i totes s´n igualment abundants,
e
o
e
e
e
o
quan val l’´
ındex de Shannon?
16. El cl`ssic model de Jukes-Cantor (1969) ´s una estimaci´ de la dist`ncia evolutiva entre dues
a
e
o
a
seq¨`ncies d’ADN amb un origen com´, a partir de la proporci´ p de difer`ncies entre elles:
ue
u
o
e
3
4
K = − log 1 − p .
4
3
Si dues seq¨`ncies de 300nucle`tids es diferencien en 47 nucle`tids, quina ´s l’estimaci´ de Jukesue
o
o
e
o
Cantor per a la dist`ncia evolutiva entre elles?
a
2

17. En una mostra de 60 esp`cies d’arbre s’ha trobat una relaci´ entre la densitat de la fusta i la
e
o
seva resist`ncia. S’ha observat que la densitat ´s proporcional a la pot`ncia 0.82 de la resist`ncia.
e
e
e
e
Doneu una representaci´...