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se puede describir su posición en cualquier instante t por medio de la distancia x entre el origen y la partícula, como hay un valor bien definido de x asociado a cada valor t del tiempo, x es una función de t.

Por lo anterior será posible representar gráficamente el desplazamiento x en función del tiempo y obtener una gráfica como la de la figura (2.1)

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Desplazamiento de un objeto que se mueve sobre el eje x graficado en función del tiempo. La cantidad ∆x/∆t representa la velocidad media en el intervalo de tiempo ∆t, mientras que el límite de esta cantidad cuando ∆t tiende a cero, que es la derivada dx/dt, representa la velocidad instantánea en el tiempo t.

La velocidad media durante un intervalo de tiempopude obtenerse determinado la distancia que recorre la partícula en ese intervalo, y observando que

(2.2.1)

De la figura 2.1 es claro que es la tangente del ángulo θ, por lo que representa también la pendiente de la secante PQ que une los dos puntos de la curva que corresponde al tiempo t y al desplazamiento x + .

Ahora podrá definirse la velocidad instantánea vx asociada a un instantet y el desplazamiento correspondiente x, como el límite de cuando el intervalo de tiempo tiende a cero. Pero esto es precisamente la definición de la derivada de x con respecto a t; entonces,

(2.2.2)

La velocidad instantánea puede considerarse como la pendiente de la tangente en P a la curva de la figura 2.1.

Es claro que conforme ∆t y ∆x tienden a cero en el límite, la pendiente de lasecante PQ se aproxima a la pendiente de la tangente a la curva en P.

Por la ecuación (2.2.2), se puede considerar que la velocidad instantánea Vx es la rapidez de variación del desplazamiento.

Fácilmente se demuestra que si la velocidad instantánea es constante, entonces la velocidad media un intervalo de tiempo es igual a la velocidad instantánea.

Si la velocidad instantánea no fueseconstante, entonces la velocidad dependerá del intervalo tiempo escogido y, en general, no será igual a la velocidad instantánea al principio o al final del intervalo.

También se puede hablar de la aceleración media āx durante cierto intervalo, como el cambio en la velocidad instantánea que experimenta la partícula durante aquél, dividido entre la duración del mismo,..; entonces,



Comoantes, la aceleración instantánea ax asociada al tiempo t se considera como el límite de ax conforme el intervalo tiende a cero, es decir, como la derivada de vx con respecto a t, o bien en vista de (2.1.2), como la segunda derivada de x con respecto a t:



En consecuencia, se puede decir que la aceleración instantánea es la rapidez de variación de la velocidad instantánea.

Si se graficara lavelocidad vx como función del tiempo (y no del desplazamiento), se encontraría que la pendiente dvx/dt en cualquier punto sería igual a la aceleración instantánea en el tiempo correspondiente.

Utilizando (2.2.2) y (2.2.4) es posible expresar la aceleración ax en forma ligeramente distinta, lo que a menudo es muy útil.

Escribiendo dv/dt = (dvx/dx) (dx/dt), que equivale a multiplicar dvx/dtpor dx/dx (es decir, por la unidad), se obtiene:



Se verá que esta relación sirve para encontrar el desplazamiento en términos de la velocidad, o viceversa.

NOTA 1:

De aquí en adelante se usarán poco la velocidad media o la aceleración media, y a menos que se especifique lo contrario, los términos velocidad o aceleración se referirán a los valores instantáneos de estas cantidades.GRÀFICA DEL MOVIMIENTO DE UNA PARTÌCULA EN EL ESPACIO

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Desplazamiento de un punto que se mueve a lo largo de una trayectoria arbitraria en el espacio coordenado tridimensional. El vector ∆r/∆t es la velocidad media durante el intervalo, en tanto que la derivada dr/dt. (Que se obtiene en el limite cuando →0, representa el...