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UNIVERSIDAD CATOLICA Departamento de Matem´tica a Taller 3 Derivadas — C´lculo I a Profesor: Doris Elena Campo 1. Derive las siguientes funciones. (a) f (x) = xex 1 (b) f (x) = ex x ex(c) f (x) = √ x √ (d) q(x) = x ln x ln x (e) p(x) = √ x (f ) h(x) = ln x3 √ (g) g(x) = ln x √ (h) f (x) = ln 1 + 2x √ (i) y = cos(ln x) √ (j) f (x) = ln(x x2 + 1) (k) g(x) = ln(sin2 x)sin x (l) h(x) = ln cos x −2x (m) g(x) = e sin(3x) (n) g(x) = ee √ (p) y = e2x + e−2x 2. Utilice la regla de la cadena para deducir de Dx ex = ex que Dx (ekx ) = kex 3. Derive lassiguientes funciones trigonom´tricas. Si es necesario, use la e regla de la cadena. (a) f (x) = √ x sin x
x

(b) f (x) = sin x cos2 x 1

(c) g(t) = (2 − cos2 t)3 (e) f (x) = cos3 xsin2 x (f ) f (x) = 2x sin x − 3x2 cos x (g) f (t) = cos 2t sin 3t (h) y = cos(sin x2 ) √ √ (i) y = x sec x √ (j) f (x) = 1 + cot 5x 4. Derive las siguientes funciones usando la regla dela cadena: (a) y = x+2 (3x − 4)3 x+1 x−1
7

(b) f (x) = (c) f (x) =

(x2 + x + 1)7 (x + 1)4
−1 −2

1 (d) h(v) = v − 1 − v (e) f (t) = t2 + 1 t2 − 1 √ v+1 (f ) f (v) = v x 1 + x25 3

(g)

(h) f (x) = x3

1−

x2

1 +1

5. En los siguientes problemas escriba la ecuaci´n de la recta tangente a la o curva y = f (x) en el punto P dado sobre la curva.Exprese la respuesta en la forma ax + by = c. (a) y = 3x2 − 4, P (1, −1) 1 (b) y = , P (2, 1) x−1 2

(c) y =

6 , P (2, −2) 1 − x2 ah − 1 = ln(a). Si f (x) = ax , calcule f (x). h→0h x2 + 2 si x ≥ 1 ¿Es f derivable en 0? 2x − 1 si x < 1 x3 si x ≤ 0 Hallar f (0) si es que existe. 2 x 3 si x > 0

6. Se sabe que l´ ım 7. Sea f (x) =

8. Sea f (x) =

9. Dada lafunci´n de posici´n x(t) = −16t2 + 160t + 25, determine su o o posici´n x cuando su velocidad es cero. Por ultimo, determine la aceo ´ leraci´n del m´vil en el instante t. o o

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