Graficando En Matlab

Joan Sebastián Zarate, Mauricio Díaz

Facultad Tecnológica
Universidad Distrital Francisco José De Caldas
Bogotá D.C; Colombia


Realice el cálculo de estabilidad y essp para el sistema de la figura 1 si las funciones de transferencia son:
* 1ss2+4=Gs H(s)
* 1s-1s2+s+1=GsH(s)

Figura 1
Se lleva a cabo el proceso en matlab para determinar la estabilidad del sistemateniendo en cuanta que el valor de la función de transferencia fue obtenido al hacer el controlador K=0 por lo que los bloques quedan en cascada.
a) Gs=tf(1,[1 0 4 0]);
rlocus(Gs)
Luego se aplica el rlocus complementario con el fin de observar que sucede cuando el controlador toma valores negativos.
k=-100:0.5:0;
rlocus(Gs,k)

A partir de las graficas mostradas se puede concluir quedicho sistema muestra estabilidad para valores de k=0; es decir cuando en el sistema no existe un controlador. Se observa que al variar el controlador ya sea con valores positivos o negativos, los polos mostrados no tienden a un valor finito por lo que el sistema se hace totalmente inestable. Muestra de esto es el valor de k mostrado a partir del calculo de essp en el cual para obtener un valor deerror menor al 10% el valor de k debe ser necesariamente cero.
E(s)R(s)=1s11+K1s3 +4s
limt-infinitoF(t)=lims-0sF(t) = 11+ks3+4s
Essp=s3+4ss3+4s+(s+1) <.1
EVALUANDO S=0
00+K<.1
0>.1(0+K)
0>0+.1K
0-0>0.1K
00.1<K
K=0
1s3+4s=G(s) H(s)
Routh –Hurwitz
S3 | 1 | 4 |
S2 | 0 | 0 |
S1 | ∞ | |
S0 | | |
Sistema estable unicamente cuando K=0

b) 1/(s-1)(s^2+s+1)
Hs=tf([1],[1 0 0 -1]);
rlocus(Hs)


Se puede ver que dos de sus polos son estables y el restante está en estado de inestabilidad, pero para que el sistema sea estable todos sus polos deberían estar ubicados en el semiplano izquierdo. Ahora bien, cuando el limite tiende a infinito sus polos tienden a irse hacia el origen, por lo cual es sistema se hace más lento.

Root Locuscomplementario
Para valores de K negativos
k=-100:0.5:0;
rlocus(Hs,k)

Se puede evidenciar que con valores de K negativos los polos del sistema tienden a infinito, lo cual hace que el sistema sea inestable .

Se lleva a cabo un nuevo root locus complementario con el fin de averiguar que sucede cuando se usan valores de K positivos:

Con valores de K positivos
k=0:0.5:100;
rlocus(Hs,k)se puede apreciar que los polos del sistema se aproximan más hacia el origen, lo que hace que el sistema sea mucho más lento que con valores de K negativos.
Por tal motivo el controlador debe utilizar valores de K positivos, para que el sistema se aproxime más al círculo de estabilidad y por lo tanto sea más estable.

E(s)R(s)=1s11+K1s3 -1
limt-infinitoF(t)=lims-0sF(t) = 11+ks3-1Essp=s3-1s3-1+(s+1) <.1
EVALUANDO S=0
-1-1+K<.1
-1>.1(-1+K)
-1>-0.1+0.1K
-1+0.1>0.1K
-0.9>0.1K
-0.90.1<K
K>-9
1s3-1=G(s) H(s)
Routh –Hurwitz
S3 | 1 | 0 |
S2 | 0 | -1 |
S1 | ∞ | |
S0 | | |

Realice el cálculo de estabilidad y essp para el sistema de la figura 2 si las funciones de transferencia son:
* 1z3 +z+0.5=Gz H(z)
*1z+0.1z+0.5=GzH(z)


Figura 2
a) 1z 2+ z+0.5

num= 1
num =
1
>> den=[1, 1, 0.5]
den =
1.0000 1.0000 0.5000
>> Gs= tf(num, den,0.1)
Transfer function:
1
-------------
z^2 + z + 0.5
Sampling time: 0.1
>> k= -10:0.01:10;
>> rlocus(Gs, k)

Se observa que el sistema presenta estabilidad al tener ubicado sus polos en el semiplano izquierdo,además de estar comprendidos dentro del círculo unitario.
>> rlocfind(Gs)
Select a point in the graphics window

El sistema presenta estabilidad para ciertos valores de controlador los cuales son = -0.50<K<0.48 ; cuando los valores de K sobrepasan estos valores hacen que el sistema tienda a infinito haciéndolo inestable.

selected_point =
-0.5032 + 0.8549i
ans =
0.4808...