guia_2do_ano_2014

Colegio Nacional de Buenos Aires

Índice
Trabajo Práctico 0

3

Trabajo Práctico 1

9

Trabajo Práctico 2

20

Trabajo Práctico 3

36

Trabajo Práctico 4

46

Trabajo Práctico 5

52

Respuestas

61

Programa de Segundo Año

66

Trabajo Práctico 0 (Tercer Año)

67

Problemas Olimpíadas 1er nivel

72

2

TRABAJO PRÁCTICO 0

1. Simplificar las siguientes expresiones usando propiedades de lapotenciación:
a) 25. 22.
f) 50
6
3
b) 2 : 2
g) 24.2-2 +22
c) 5-5. 52

27−1

h)

3−3
2

d)

(5 )

5 5

8 3
  . 
3 8

i)

−3

 8 −2  3 3 
  .   
3
8
    

−1

−6
4.3 ) 84
(
j)
3

1
e) 5 .
5
−2

9

2. Decidir si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.
a)
b)
c)
d)

Para todo x ∈Q: x0=0
Para todo x ∈Q: x0=1
(x + 2)3= x3 + 23
(a + a2)2= a2.( 1 + 2 a + a2)

e) Paratodo x ∈Q:
f) Para todo x ∈Q:
g) 00 = 0
h) 00 = 1
i) a < b ⇒

x2 = x
3

x3 = x

a
< 1 , para todo a ∈Q, para todo b∈ Q – {0}
b

3. Resolver:
a)

1 − ( −15 ) + − 3 2 − ( −3 ) 2 ( −2 )

b)

36 .( −1)0 ( −4 ) 2
4 32
⋅
32 7

4. Simplificar llevando a su mínima expresión:
a)

3 x ( x + 1)

(3 )

x x

b)

x p + q . x p.q

( )

x p. xq

p

( x >0)

3

5. a) Sabiendo que a y b son números racionalestales que: a < 0 y b > 0,
calcular
i)

1
a

ii) |(-a).b|

iii) | a.b|

b) Si a > 1 + b, calcular:
i) | b + 1 – a |
ii)|(a – b )2 |

iii) | b – a + 1 |

6. Resolver en Q
b) | x2 - 5 | = 4

a) | x – 4 | = 8
c) (-x + 2)3 = 1

d)

e) 8: x + 3 = - 1
g)

x − 0 ,5
( −0 ,6 )

−1

f)
x

=

1 −


1

3

x2 − 1
−1=0
3
x
2x
− + 1−
=0
3
3

1

 x − 1
3

h) 
2

−1

2

=8

7. Resolver en Q
a) 2 x – 1 < 6b) 3 x + 1 ≥ 4 x – 3

2x − 9
>0
7
5
1
e)
− x2 ≥ −
3
9
2
(x − 3 ) ≤ 8
g)
2
25

d) 19> 4 – 3x > 10

c)

f) ( x - 1)2 .(-2) + 1 > ( x – 1). x – 3 x2


h)  x +


i) | x | .(-2) < - 8

1
( −3 x + 9 ) ≥ 0
5

2x +

j)

4

1
8 .( −3 ) + 7 > −2

8. Resolver en Q:
a) 2 (x-1) . (x+0,5) + 5 = 3x2 - ( x+1)2
c)

e)

2x −

1
. 3 = 2 − 32 − 2
2

(2 x − 3 ) − 25 − 16
36

=2

b) (0,3 x - 1 ) : 2 + 8x = (x-1)(x+1) - x ( x-1,2)
d) 5: ( 2x-4 ) + 9 = 18

f)

x2
3

 −1 − 4 



−1

=−

25 3  1 
−
14  2 

−2

: 2 −1

4

g)
i)

( x −3 .x 2 )−1
−2

4

:x
3
3x − < 0
4
x

k) 1 +

h) ( 2x+1) . ( 3x - 2 ) < 0

= 128

2
5
x +1 > −
3
4

j)

−

1
1
1
x + 1 < − − −1 −
2
3
2

l) |x+5|.(x2 –4)< 0

16
25

(a+b).(c+d) = a.c +a.d + b.c+ b.d

Para
recordar....

(a+b)2 = a2 +2ab +b2
(a-b)2 = a2 -2ab +b2
a2 -b2=(a + b).(a – b)

9. Escribir como producto:
a) a2 b + 2 a b 2

b)

5 3
5
c − 25c 2 + c 4
4
8

c) 25 - 10a + a 2

d) 25 - b2

e) a2 + a + ab + b

f) a4 - 1

g) 3x(2x-1)2- 2(2x-1)

h) 81 - x 4

i) 9a2-30 a + 25

10. Resolver en Q
a) x3 = x

b) 3(2x+5)2 – 2(2x+5)=0

c)5x (3x+1)4 –(3x+1)5=0

d)(2x2-18)2= 32 (2x2-18)

e) x2 + 2x = 0

f) 3x 2 + 15x ≥ 0

g) x2 -4x +4 = 0

h) x2 -4x +4 =9

11. Calcularel ángulo que forman dos de las bisectrices de un triángulo
sabiendo que el tercer ángulo mide 80°.
ˆ = B
ˆ . Demostrar que el triángulo CEF es isósceles.
12. En la figura, FD ⊥ AB y A
F
C
E
A

D

B
5

13.
En un triángulo ABC se trazan las bisectrices de B y C que se cortan en P.
Por P, se traza una paralela a BC que corta al lado AB en D y a AC en E. Si BD=
5 cm y CE= 7 cm. Hallar la medida deDE. Justificar.
14.
Indicar si las siguientes afirmaciones se cumplen: Siempre, a veces,
nunca. Justificar debidamente usando un ejemplo o una demostración o
argumento general cuando corresponda
a) si un punto P equidista de los extremos de un segmento AB, entonces P
pertenece a la mediatriz de AB .
b) Si la suma de los ángulos exteriores de un polígono (considerando uno por
vértice) es 360o ,entonces es un hexágono.
c) Si la suma de los ángulos interiores de un polígono es 360o, entonces es un
cuadrilátero.
d) Si un triángulo tiene dos de sus medianas congruentes, entonces es isósceles.
e) En un paralelogramo, las diagonales están incluidas en las bisectrices de los
ángulos cuyos vértices unen.
f) Si las diagonales de un cuadrilátero son congruentes, entonces es un
rectángulo.
g) Si las...