Guia calculo varias variables

GUIA CALCULO EN VARIAS VARIABLES 1. Calcular fx ; fy para las siguientes funciones que se indican: a) f (x, y) = x3 y 4 c) f (x, y) = e3x · ln(xy) e) f (x, y) =
x3 y+1 √ xy

b) f (x, y) = d) f (x, y) =
2x y3

x2 − y 2

f) f (x, y) = cos(x2 + 2y) h) f (x, y) = ln(tg
x y x y

g) f (x, y) = xy i) f (x, y) = √ 1 + x2 · ln

)
x y2

j) f (x, y) = arcsen

2. Calcular las cuatroderivadas parciales de orden dos fxx ; fxy ; fyy ; fyx . a) f (x, y) = 5x2 − 3xy b) f (x, y) = x4 + x4 y −7 − 6x3 y c) f (x, y) = sen(x2 y) d) f (x, y) = tg(x + 3y) 1 e) f (x, y) = √ 2 2
x +y

3. Evaluar las derivadas parciales de las siguientes funciones en los puntos dados. ( fx ; fy ; fxy ; fyx ; fxx ; fyy ). (a) f (x, y) = 2x − 3y + 6 en ( 2, -2 ). (b) f (x, y) = (x2 − y) · e2y en ( 3, 0 ). (c) f(x, y) = y · ln(2xy 2 + 5y) en ( 3, -1 ). (d) f (x, y) = cos(2xy) +
1 x2 +y 2

en ( 0, 1 ).

4. Hallar las derivadas parciales: fxyy ; fyxy ; fyyx ; fxxx ; fyyy si: a) f (x, y, z) = x · y · z c) f (x, y, z) =
x y+z

b) f (x, y, z) = e−x · sen(yz)

d) f (x, y, z) = xyz · exyz

e) f (x, y, z) = (x2 + y 2 )cos z 5. Aplicando la regla de la cadena, determinar las derivadas parcialesindicadas. (a) f (x, y) = x2 + y 3 ; x = 3t + 1 ; y = t5 ; √ x = t ∂f (b) f (x, y) = ln x , ; ∂t y y=1 t (c) f (x, y) = 3x5 + 2y 3 ; (d) f (x, y) = x = t2 + s4 ; y = 3ts
∂f ∂t ∂f ∂t .

;

∂f ∂s

x2 + y 2 ; x = r cos θ, y = rsenθ; fr , fθ
xy+z

(e) f (x, y, z) = cos(xyz 3 ); x = sent + s2 ; y = cos t − s2 ; z = (f) f (x, y, z) = e ; x = s + t; y = s − t; z = t ; fs ; ft 1
2

√

ts; ft , fsAPLICACIONES DE DERIVADAS PARCIALES. 6. Dada la funci´n z = f (x, y) = x2 y 2 − ln(x2 + y 2 ). Determine si se cumple: o x· ∂f ∂f +y· = 4x2 y 2 − 2 ∂x ∂y

7. Si f (x, y) = x2 y − xy 2 + ln(xy). Entonces fxy = fyx . 8. Sea f (x, y) = ln(ex + ey ). Verifique si se cumple fx + fy = 1. 9. Dada la funci´n f (x, y) = ln(3x + y 2 ). Verifique que fxy = fyx . o o 10. Dada la funci´n f (x, y) = x3 y 2− 2x2 y + 3x. Demuestre que fxy = fyx . 11. Demuestre que si f (x, y) = e x ⇒ x · fx + y · fy = 0. 12. Si f (x, y) = 800 3 xy 2 . Demuestre que x · fx + y · fy = f (x, y). 13. Si f (x, y, z) = e3x+4y · sen(5z). Demuestre que fxx + fyy + fzz = 0. 14. Si f (x, y) =
x2 +y 2 x+y . y

Pruebe si se verifica x · fx + y · fy = f (x, y).

o 15. Dada la funci´n f (x, y) = x3 − 3x2 y + 2y 2 − 12.Demuestre que: 2 ∂2f ∂2f ∂2f +2 + 3y 2 = 0 ∂x2 ∂x∂y dy

16. Dada la funci´n f (x, y) = cos(x + y) + cos(x − y). Demuestre que: o ∂2f ∂2f = ∂x2 dy 2 17. Sea f (x, y) = x2 + y 2 ; x = er cos(s) ; y = er sen(s). Demuestre que: ∂f ∂f = er ; =0 ∂r ∂s 18. Si w = f (u) ; u = g(x, y) = x , entonces x · y
∂w ∂x

+y·

∂w ∂y

= 0.

19. Dada f (x, y) = exy ; x = 3u + 2v ; y = 4u − 2v. Demuestre que: 1exy 20. Si z = xy + y ln(xy). Demuestre que x · ∂f ∂f + ∂u ∂v
∂2z ∂x2

= 2x + 5y
∂2z ∂x2

+y·

= y2 ·
1 r2

∂2z ∂y 2 .

21. Si u = f (x, y) ; x = r cos θ ; y = rsenθ. Exprese u2 + r 22. Si z = ln(x2 + y 2 ). Demuestre que 23. Si z = xy + xe y . Demuestre que:
1 ∂2z ∂x2 ∂2z ∂x∂y

· u2 en t´rminos de x e y. e θ

+ =

∂2z ∂y 2

= 0.

∂2z ∂y∂x .

24. Si u = x2 y + y 2 z + z 2x. Demuestre que: ux + uy + uz = (x + y + z)2 . 25. Calcule
∂w ∂t

+

∂w ∂s ,

si w = exy+z , donde x = s + t ; y = s − t ; z = t2 . 2

26. Si u =

Axn +By n Cx2 +Dy 2 ,

demostrar que: x · ux + y · uy = (n − 2) · u.

VALORES EXTREMOS. 27. Determine los puntos m´ximos y m´ a ınimos o puntos sillas si existen de las siguientes funciones: (a) (b) (c) (d) f (x, y) = 2x2 + 4x + y 2 +6y. f (x, y) = −3x2 − 5y 2 + 6x − 9y. f (x, y) = 4x3 − 2x2 y + y 2 . 4 2 f (x, y) = xy + x + y .

(e) f (x, y) = ex · cos y. APLICACIONES DE LOS VALORES EXTREMOS. 28. Suponga que cuando la producci´n de una mercanc´ determinada requiere de x horas – m´quinas o ıa a y de y horas – hombre, el costo de producci´n est´ dado por C(x, y) = 2x3 − 6xy + y 2 + 500. o a Determine el n´mero de horas –...