guia de calculo operacional por el profesor William la Cruz

Universidad Central de Venezuela
Facultad de Ingenier´
ıa
Escuela de Ingenier´ El´ctrica
ıa e
Departamento de Electr´nica, Computaci´n y Control
o
o
Variable Compleja y C´lculo Operacional
a
Semestre 2013-3

Gu´ de Ejercicios 3
ıa
Funciones de Dominio Continuo, Funciones de Dominio Discreto, Convoluci´n,
o
Transformada de Fourier, Transformada de Laplace, Transformada z
1Funciones de Dominio Continuo
1.1. Dibujar las siguientes funciones de dominio continuo:
a) f1 (t) = u(t) + 5u(t − 1) − 2u(t − 2)
b) f2 (t) = r(t) − r(t − 1) − u(t − 2)
c) f3 (t) = u(t)u(t − a),

a>0

d) f4 (t) = u(t)u(a − t),

a>0

e) f5 (t) = u(cos t)

f) f6 (t) = p1/2 (t2 + 2t + 1)
g) f7 (t) = f1 (t)f2 t +

1
2

t 1
π
h) f8 (t) = f1 − +
f5 t −
3 2
2

1.2. Calcular lassiguientes integrales:
1

3

(t + t2 )δ(t − 3) dt

a)
−2

0
4

4
2

b)

e(t−2) δ(2t − 4) dt

c)

(t + t )δ(t − 3) dt
−2

d)

1
1
(t − 2)2 δ ′ − t +
3
2
−4

dt

1.3. Determinar la convoluci´n h(t) = f ∗ g (t) de la parejas de funciones f (t) y g(t) de dominio
o
continuo que se enumeran a continuaci´n:
o
a) f (t) = pa (t − a),
g(t) = δ(t − b), b > a

f) f (t) =[u(t + 1) − u(t − 1)] sgn (t),
g(t) = u(t)

b) f (t) = pa (t − a),
g(t) = u(t)

g) f (t) = e−t u(t),
g(t) = e−2t u(t)

c) f (t) = u(t),
g(t) = sgn (t)

h) f (t) = t e−t u(t),
g(t) = u(t)

d) f (t) = t[u(t) − u(t − 1)],
g(t) = u(t)

i) f (t) = u(t),
g(t) = e−2t u(t) + δ(t)

e) f (t) = r(t),
g(t) = sgn (t) + u(−t − 1)

j) f (t) = δ(t − 1) + e−t u(t),
g(t) = e−2t u(t)

-2-1.4. Determinar la convoluci´n h(t) = f ∗ g (t) de la pareja de funciones f (t) y g(t) de dominio
o
continuo que se muestran en la Figura 1.
g(t )

f (t)

f (t)
1

1

1

g(t )

1

-1
-1

1

1

t

1

t

-1

1

t

t

-1

-1

-1

a)

b)
g(t )

f (t)

g(t )

f (t)

2
1

1

-1

2 t

1

1

-1

1

t

-1

1

c)

t

-11

t

d)

Figura 1. Funciones f (t) y g(t) del Problema 1.4

2 Funciones de Dominio Discreto
2.1. Dada la funci´n f (n) de dominio discreto que se muestra en la Figura 2, dibujar las siguientes
o
funciones:
a) g(n) = f (n − 2)

d) g(n) = f (n)u(n)

b) g(n) = f (3n − 4)

e) g(n) = u(f (n))

c) g(n) = f

−

n+8
4

f) g(n) = δ(f (n))

f (n )
2
1
-2

3

1
-1

02

n

-1
-2

Figura 2. Funci´n f (n) del Problema 2.1
o

-3-

2.2. Determine la convoluci´n h(n) = f ∗ g (n) de la pareja de funciones f (n) y g(n) de dominio
o
discreto que se enumeran a continuaci´n:
o
e) f (n) = u(n + 2) − u(n − 4),
g(n) = nu(n)

a) f (n) = u(n − 1),
g(n) =
b) f (n) =

−1, −5 ≤ n ≤ −1,
1,
0≤n≤4
1
2

f) f (n) = n (u(n + 2) − u(n − 3)),
g(n) =u(−n) − (δ(n − 1) + δ(n − 2))

n

u(n),

g(n) = δ(n) + δ(n − 1) +

2

1
3

g) f (n) =

n

u(n)

(−1)k
δ(n − k)
2k+2
k=−2
3

c) f (n) = u(n + 1) − u(n − 2),
g(n) = u(n + 1) − u(n − 2)

(−1)k δ(n − k)

g(n) =
k=0
5

d) f (n) = −n(1/4)n u(−n − 1),
g(n) = u(n)

h) f (n) =
k=0

(−1)k+1
δ(n − k)
k+1

g(n) = u(n) − u(n − 5)

3 Transformada de Fourier
3.1.Obtener la transformada de Fourier de las siguientes funciones:
a) f (t) = e−2t u(t)

g) f (t) = π [δ(t − π) + δ(t + π)]

b) f (t) = p1 (t)

h) f (t) = u(−t − 1/2) q1 (t)

c) f (t) = q1/2 (t)

i) f (t) = e−a|t| , a > 0
1
, a > 0.
j) f (t) = 2
a + t2
k) f (t) = 1 + j sgn (t)

d) f (t) =

t + 4 sgn (t), si |t| > 0;
0,
si t = 0

e) f (t) = |t|u(t)
f) f (t) = 2πδ(t − t0 ), donde t0∈ R

l) f (t) = p1 (t) + jq1/2 (t)

3.2. Sea f (t) una funci´n de dominio continuo cuya transformada de Fourier es F (ω). Pruebe que
o
la transformada de Fourier de la funci´n g(t) = f (t) cos ω0 t, con ω0 ∈ R, est´ dada por
o
a
1
F {g(t)} = {f (t) cos ω0 t} = [F (ω − ω0 ) + F (ω + ω0 )].
2
3.3. Sea f (t) una funci´n de dominio continuo cuya transformada de Fourier es
o
F (ω) =...