Guia de integrales

EJER - PLOS

1

INTEGRALES INDEFINIDAS SUMAS DE RIEMANN INTEGRALES DEFINIDAS

INTEGRALES INDEFINIDAS

EJEMPLO - A Determine la antiderivada más general de la función definida por: F(x) que el resultado obtenido es correcto.

2- x y verifique x2 2

SOLUCIÓN Sea:

G(x)

2- x dx x2 2

G(x)

2 x
2

x 2 x
2

2

dx

2

1 x
2

2

dx -

x x
2

2

dx

Sea:u

x2 2

1 du 2 -

x dx 1 1 du u 2 x 2 arctg 2 2 1 Ln u 2

G(x)

x 2 arctg 2 2

-

C

La antiderivada más general de F(x) es:

G(x)

x 2 arctg 2 2

-

1 Ln x 2 2 2

C

Para verificar el resultado considero la derivada de G(x), así:
G (x) 2 2 1 1 x 2
2

1 2

-

1 1 2x 2 x2 2

0 1

1 x 2
2

-

x x
2

1 2 2 x 2
2

-

x x
2

2

G (x)

2 2 x2

-

x x
2

2

2-x 2 x2

F(x)

¡ y queda verificado ¡

Matemáticas II - UNIMET

2

Ejercicio 1 Determine la antiderivada más general de la función definida por: F(x) verifique que el resultado obtenido es correcto.

7 Sen(x) Cos 2 (x)

y

Ejercicio 2 Calcular las siguientes integrales
x

2.1.

3 3
x

2

dx

2.2.
5e x

1
3x

dx 7 dx

2.3.

1 e
3x5 3

e

3x

dx

2.4.

4 x

2.5.
e e 4 4

1 x 3
4x

2

1 x

dx

2.6.

1 ln x x 9 ln x
2 2

dx

2.7.

4x

2 x x

dx

2.8.

Sen x cosx 7 3 Sen x
6

dx

2.9.

dx

2.10.

2x 4x
x
2

5 3
x

dx

2.11.
x 4

dx Ln(x) Lnx x 2 Lnx dx 5e
6x 2 3 8

2.12.

14

5

3 dx

2.13.

5

dx

2.14.

e

Tg(x) 2

Cos (x)
3

dx2.15.

3

2.16.

Sen (2x) Cos(2x) dx
1 - 4x 3x 2

2.17.

Sen(x) 3 Cos (x)
2

dx

2.18.

dx

2.19.

2 x x
2

2

dx

2.20.

3

tg(x)
2

1 sen (x)

dx

arctg

x 2

2.21.

x

2

4

dx

2.22.

x3 x2 1

dx

Ejer––plos 1 - H. VERA

3

2.23.

x 2x

2

3

4

6

dx

2.24.

X 2X 3

dx

2.25.

x

3

4 3x

2

dx2.26.

ex

ex dx 1 Ln e x 1
10

2.27.

x 8x

8

3

6

10

dx

2.28.

x11 x 4 3

dx
Sen2 ( x )

2.29.

1 1 Sen(x)

dx

2.30.

Cos(x) Sen(x) e

dx

2.31.

Sen(x) Cos(x)
3

2

dx

2.32.

x5 x3

5 dx
5

2.33.

x x
8

4
3

dx

2.34.

Sen

11

x Sen

4

x

2

Cos x dx

2.35.

Sec (x) Tg(x) dx

2.36.

tg bx a

bx a
2dx

2.37.

Sen ( 2x)Cos( dx 2x)
1 x 1 x

2

2.38.

2x 3

x

3x Ln2 x 2 3x dx

dx

2.39.

1 5

dx 2

2.40.

tg (bx) 1 a tg(bx)

2

2.41.

Sec(x)Tg(x) 10 Sec(x) dx
Ln(x) dx x 4 Ln(x)
2

2.42.

3 Sec(x) sen2 (x) 1

Sen(x) dx

2.43.

2.44.

x11 7 x 4 dx

RETO: El énfasis que se hace en este material está referido a las aplicaciones. Se recomiendarevisar el problemario que ofrece el libro texto del estudiante a fin de complementar el estudio del presente temario.

Matemáticas II - UNIMET

4

INTEGRALES INDEFINIDAS Y PROBLEMA DE VALOR INICIAL

EJEMPLO - B Determina la ecuación de la curva que contiene al punto e 3,2 y tal que, la pendiente de la recta tangente en el punto (x,y) viene dada por:
Ln(x 3) xy 3x 3y 9

SOLUCIÓN Deacuerdo al enunciado se cumple que:
dy dx Ln(x 3) xy 3x 3y 9

Separando variables e integrando en la ecuación diferencial queda:
dy dx Ln(x 3) xy 3x 3y 9 dy dx Ln(x 3) y 3 x 3y 3 Ln(x 3) dx x 3 dy dx Ln(x 3) y 3 x 3

y 3 dy

Sea: Por lo tanto:

u

Ln x 3 y dy 3

du dy

1 x 3

dx u du
y2 2 Ln x 3 2
2

3y

u2 2

C

y2 2

3y

C

Para calcular ““C”” considero el punto e 3,2, así:
22 2 3 2 Ln e - 3 3 2 2

C

4

1 2

C

C

9 2

Conclusión: La ecuación de la curva pedida es:
y2 2 3y Ln x 3 2 2 9 2

Ejer––plos 1 - H. VERA

5

Ejercicio 3 Resolver los siguientes problemas de valor inicial:

3.1.

dy dx

xy y x

3.2.

dy dx

e

3x 2 4

x y xy

2

y
2

2

2y

para x= 1, y = e2 3.3.
dy dx xy xy 3x 2x y 4y 3 8

para :...