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Algebra Lineal - Gu´ 1 ıa
1. Justifique (en todos los casos) si las afirmaciones son verdaderas o falsas: a) b) c) d) e) f) 2. 3. 4. 5. Si B es de 6 × 6 con determinante −3, su adjunta tienedeterminante 243. Si A satisface la relaci´n A2 − 2A + I = 0, entonces A3 = 3A − 2I. o Ninguna matriz con determinante negativo puede tener inversa. Ninguna matriz A de 3 × 3 satisface larelaci´n det A + det(AT ) = 0. o Si A tiene solo enteros y det(A) = 1, su inversa contiene solo enteros. Para matrices A y B, se cumplen (A+B)2 = A2 +2AB+B 2 y (A+B)(A−B) = A2 −B 2 . −1 1 ,calcular A2 y A3 . Vea qu´ ocurre con otras potencias. e −1 0 0 −1 , calcular A2 , A3 y A4 . ¿Qu´ ocurre con potencias mayores? e 1 0

Para A = Para A =

Demostrar que si A es cualquier matrizcuadrada que satisface la relaci´n A2 − 3A + 2I = 0, o entonces A3 = 7A − 6I. Compruebe la igualdad 3 1 1 3 y use esto para calcular 10 −6 −6 10
4

1 0 0 −1

3 1 1 3

−1

=

10 −6 −610
7

y

10 −6 −6 10

.

6.

Compruebe la igualdad 1 1 1 −1 y use esto para calcular 3/2 −1/2 −1/2 3/2
4

1 0 0 2

1 1 1 −1

−1

=

3/2 −1/2 −1/2 3/2

.

7.

Sean Ay X matrices de 2 × 2 con coeficientes reales. Determinar X tal que se cumpla (At X t )−1 − (X t A−1 )−1 + (X −1 At )t = I2 con A = 2 −3 −1 3 e I2 es la matriz identidad de 2 × 2.

1

8.Despejar la matriz X en (A X t + B)t = XC − D, y calcular su valor exacto para A= 1 3 2 7 , B= 1 2 3 6 , C= −1 1 0 1 , D= 1 0 0 1 .

9.

Despejar la matriz X en (A−1 X t )t + (B t )−1 =D − XC, y calcular su valor exacto para A= 2 3 1 3 , B= 1 0 2 1 , C= −2 2 −1 −3 , D= 1 0 0 1 .

10. 11.

En los dos problemas anteriores, bajo qu´ condiciones puede realmente calcular elvalor de e X? (Invertibilidad de ciertas matrices, operaciones, etc.) Calcular la inversa de las matrices: 3 −2 −5 6   0 −2 −1  3 0 0  −1 1 1  6 4 9 2  1 1 3  2 −2 1  0 1 0

2...